Cantorov skup

Cantorov skup je skup odvojenih točaka dužine koji se dobije konstantnim izbacivanjem srednje trećine svih preostalih segmenata. To je fraktal topološke dimenzije 0 (nula). Predstavio ga je njemački matematičar Georg Cantor 1883. godine.

Konstrukcija

Uzmimo segment pravca u intervalu [0,1] te izuzmimo srednju trećinu bez krajnjih točaka (dakle, interval <1/3,2/3>). Sa svakim od preostala dva segmenta učinimo isto i nastavimo postupak s ostatkom. Točke koje ostanu nakon beskonačnog broja iteracija čine Cantorov skup. Zanimljivo je da je Cantorov skup ono što ostane od prvobitne crte Kochove krivulje.

prvih šest iteracija Cantorovog skupa (zajedno s nultom)

Sadržaj Cantorovog skupa

Cantorov je skup sve što ostane nakon oduzimanja srednjih trećina, pa zbroj duljina svih segmenata možemo dobiti tako da zbrojimo duljine svih izuzetih segmenata i oduzmemo ga od duljine početne dužine. U prvoj smo iteraciji oduzeli 1/3 ukupne duljine, u drugoj još 2/9 itd. Zbroj tog geometrijskog niza je:

${\frac {2^{n-1}}{3^{n}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {2}{3}}}}=1$.

Drugim riječima, izgleda da smo sve izbacili. Isti smo rezultat mogli dobiti i drugačije, zbrojimo li sve što smo ostavili:

${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdots =\left({\frac {2}{3}}\right)^{\infty }{\to }0$.

No, zaključiti da je Cantorov skup prazan nije ispravno. Dokaz tome je činjenica da smo uvijek ostavili krajnje točke skupa koji smo izbacivali. Dakle, ono što je ostalo su odvojene točke.

Višedimenzionalni Cantorovi skupovi

Cantorova prašina

Cantorov oblak

Višedimenzionalni analogoni Cantorovom skupu obično se nazivaju Cantorova prašina. Postupak za dvodimenzionalni analogon je sličan: jedinični se kvadrat podijeli na 9 jednakih kvadrata od kojih se izbaci pet kvadrata koji ne sadrže vrh početnog kvadrata (izbace se kvadrati u obliku znaka +). Postupak se ponovi s ostala četiri kvadrata i tako beskonačno puta.

Trodimenzionalni se analogon naziva i Cantorov oblak. Kreće se od kocke koja se podijeli na 27 jednakih kocaka. Izostavi se 19 od njih koje ne sadrže vrhove kocke, odnosno ostavi se 8 kocaka koje sadrže dijelove triju stranica početne kocke. Postupak se ponovi s preostalim kockama.

Vidi još

• Fraktali