Topološki prostor

Topološki prostor je par (X,t) skupa X i topološke strukture (topologije) t na X.

U geometriji, svojstva prostora koja se ne mijenjaju kod neprekinutih rastezanja i stezanja nazivamo topološkima, ili topološki invarijantnima i proučavamo ih u grani matematike koja se naziva topologija. Apstrahirajući takva svojstva Felix Hausdorff uveo je pojam topologije ili topološke strukture t na skupu X kao skupa t podskupova od X koji zadovoljava ova tri svostva:

• prazan skup i cijeli skup X članovi su topologije t

• presjek svaka dva (i dakle bilo koje konačne porodice) članova iz t je u t

• unija proizvoljne porodice članova iz t je u t

Članove skupa t nazivamo otvorenim skupovima topološkog prostora (X,t). Skupove oblika X\U (komplement od U u X) gdje je U iz t nazivamo zatvorenim podskupovima od X (u topologiji t). Ako je skup U otvoren i sadrži član x, tada kažemo da je U otvorena okolina od x. Općenitije, ako skup A sadrži kao podskup neki otvoreni skup U koji sadrži x, tada kažemo da je A okolina od x (koja sama nije nužno otvorena). Ako je A podskup u X, tada postoji najmanji zatvoreni skup koji sadrži A i koji je zatvoren. Taj skup nazivamo zatvaračem skupa A u (X,t).

Ako je (X,d) metrički prostor, tada skup svih unija porodica otvorenih kugli oblika B(x,r) gdje je x u X i r pozitivan realan broj, čini topologiju t_d na X za koju kažemo da je inducirana metrikom d. Topološki prostori oblika (X,t_d) gdje je (X,d) metrički prostor nazivamo metrizabilnim topološkim prostorima.

Veliki dio moderne topologije bavi se topološkim prostorima kao osnovnim objektom proučavanja, iako postoje i neki drugi pristupi (npr. ravnomjerni ili uniformni prostori).

Više o ovoj temi možete pronaći na stranici Topologija.

Izvori

• Šime Ungar: Opća topologija, str. 25.

Nedovršeni članak Topološki prostor koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.