Otvori glavni izbornik

Koordinatni sustavUredi

Osnova analitičke geometrije je korištenje koordinatnog sustava. Obično se koristi Kartezijev koordinatni sustav.

Analitička geometrija u R2Uredi

Koordinatni sustav i transformacijeUredi

Sa (x, y) označavaju se početne koordinate a sa (x', y') nove

Paralelno pomjeranjeUredi

Ako x0, y0 su koordinate koordinatnog početka u novom sistemu, onda vrijedi:

 

RotacijaUredi

Ako se kut rotiranja   smatra pozitivnim( kut kojim se pozitivni x-os treba pomjerati da bi se podudarii s pozitivnim y-osom) onda su formule za transformaciju:

 
 

Udaljenost između dvije točkeUredi

Udaljenost između točaka (x1, y1) i (x2, y2) je:

 

Površina trokutaUredi

Ako vrhovi trokuta imaju koordinate (x1, y1), (x2, y2) i (x3, y3), njihova površina je

 
 

Da bi T bilo pozitivno, moraju točke (x1,y1), (x2, y2) i (x3, y3) slijediti jedna drugu u pozitivnom pravcu , tj. suprotno smjeru kretanja kazaljki na satu.

Dijeljenje udaljenostiUredi

Ako se udaljenost između točaka (x1, y1) och (x2, y2), dijeli u odnosu na m/n koordinate će biti:

 

Koeficijent kuta pravcaUredi

Neka   je kut koji pravac zatvara s x-osom. Ako pravac prolazi kroz točke (x1, y1) i (x2,y2) onda je oeficijent kuta pravca:

 

Jednadžba pravcaUredi

Jednadžba pravca je jednadžba prvog reda po x i y i opća formula je

 

Svaka jednadžba prvog reda predstavlja pravca.

 

znači pravac paralelan s y-osom i

 

pracac paralelan s är en linje parallell med x-osom.

 

je pracac kroz koordinatni početak.


k-formulaUredi

Pravac se može napisati i u obliku

 

ako je pravac paralelan s y-osom, tj. B är različit od nule. Ovdje je k koeficijent kuta pravca

 

i m y-koordinate dodira pravca s y-osom.

PresjekUredi

Parametri presjecanja su točke presjeka pravaca x-ose i y-ose i pišu se

 

gdje a je x-koordinata za točku presjeka pravca s x-osom a b je y-koordinata za točku presjeka pravca s y-osom ili

 

Standardni oblikUredi

 

je standardni oblik pravca.   och m bestäms ur

 
 

Znak kvadratnog korijena se bira tako da m bude pozitivno.

m je dužina normale iz koordinatnog početka do pravca i   je kut te normale s x-osom.

Udaljenost točke od pravcaUredi

Pravac napisan u standardom obliku

 

Onda je udaljenost točke P s koordinatama (x1,y1):

 

gdje se znak + bira ako koordinatni početak i P leže na različitim stranama pravca.

Formula pravca kroz jednu točkuUredi

Jednadžba za pravac kroz točku (x1, y1) s kutnim koeficijentom k je

 

Formula pravca kroz dvije točkeUredi

Jednadžba za pravac kroz točke (x1, y1) i (x2, y2) je

 

Kut između dva pravcaUredi

Ako su koeficijenti kuta pravca k1 i k2 kut između pravaca izračunava se kao:

 

Krivulje u ravniUredi

Krivulja u ortogonalnom koordinatnom sustavu daje vezu između koordinata x i y i može se napisati kao funkcija.

Jednadžba krivulje se može napisati u eksplicitnom obliku

 

u implicitnom obliku

 

ili u parametarskom obliku

 

U polarnim koordinatama   jednadžba krivulje je

 

ili

 

TangentaUredi

Koeficijent kuta za tengentu jednog pravca u pravokutnim koordinatima je jednak derivaciji funkcije u točki dodira:

 
 
 

AsimptoteUredi

S asimptotom jedne krive misli se na pravac takav da razdaljina između pravca i točke na krivoj ide prema nuli gdje točka ide u beskonačnost. Ako se asimptota krivulje y = f(x) piše pomoću jednadžbe y = kx + m, onda se k i m određuju prema:

 

Analitička geometrija u R3Uredi

Koordinatni sustavUredi

Koordinatni sustav u R3 koristi tri ravnine, obično okomite jedna na drugu. Točke presjeka se nazivaju x-, y- i z-os. Ove tri ravnine označavaju se po ulaznim osama kao xy-ravnina, yz-ravnina i xz-ravnina.

Pravokutne koordinateUredi

Kosinus smjeraUredi

Koordinate točke P' (x, y, z) su okomita udaljenost do yz-, xz- i xy-ravni. Ako su   kutovi između vektora položaja duljine r i os onda je

 

gdje

 

su kosinusi smjera označeni sa a, b i c za koje vrijedi

 
Kut između dva pravcaUredi

Ako imamo dva pravca, OA1 sa kosinusima smjera a1, b1 i c1 i OA2 sa kosinusima smjera a2, b2 i c2, onda vrijedi za kut   između OA1 i OA2:

 
Rotacija koordinatnog sustavaUredi

S prijelazom iz pravkokutnog koordinatnog sustava (xyz) u jedan drugi (x'y'z') sa zajedničkim koordinatnim početkom ali različitim smjerovima osi i smjerovima kosinusa u xyz-osi označenim

za x'-os sa  
za y'-os sa  
za z'-os sa  

biće transformacije

 
Udaljenost između dvije točkeUredi

Udaljenost d između točaka (x1, y1, z1) i (x2, y2, z2) je

 

Ako su a, b i c kosinusi pravca za pravac između dvije točke, onda se izračunavaju kao

 

Ravnina u R3Uredi

Ako je (x0, y0, z0) jedinični vektor do jedne točke u ravnini i (A, B, C) je okomit vektor na ravninu, može se jednadžba ravnine napisati kao skalrarni proizvod okimitog vektora i vektora (x - x0, y - y0, z - z0):

 

što daje generalni oblik jednadžbe ravni kao

 

gdje je D

 

Jednadžba prvog reda predstavlja uvijek ravnunu. Cosinusi pravca za okomicu ravnine su En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är

 

Znak pred korijenom se izabire tako da je

  uvijek pozitivan. Na taj način je okomica usmjerena prema ravninoj "pozitivnoj" strani.

Okomiti oblikUredi

Dijeljenjem sa

 

dobijemo jednadžbu ravni u okomitom obliku

 

gdje su  kutevi koje okomica na ravac čini s koordinatnim osama a p je udaljenost okomice od koordinatnog početka pa do ravnine.

Vektorski oblikUredi

Jednadžba ravni s okomitim vektorom n, datom točkom r0 i r kao jediničnim vektorim za proizvoljnu točku (x, y, z) u ravnini je

 

Udaljenost točke od ravnineUredi

Koordinate točke se pišu u okomitom obliku ravnine

 

a udaljenost je onda jednaka lijevoj strani jednadžbe sa predznakom '-' ako točka i koordinatni početak se nalaze na istoj strani ravnine, inače sa predznakom '+'.

Primjer:

Izračunati udaljenost od točke (1, -3, 2) do ravnine

 

Jednadžba ravnine u okomitom obliku

 

Kut između dvije ravnineUredi

Kut   između dvije ravnine

 
 

izračunava se pomoću jednadžbe

 

Ako su okomiti vektori na ravninu poznati može se skalarni proizvod okomitih vektora upotrijebiti da bi se izračunao kut između ravnine:

 

PravacUredi

Pravac se može smatrati presjekom između dvije ravnine i može se napisati uz pomoć jednadžbi prvog reda

 
 

Pravac se može napisati pomoću točke P = (x0, y0, z0) na pravcu i vektora pravca u:

U parametarskom obliku vrijedi za jednu točku (x, y, z) na pravoj liniji:

 

ili

 
 
 

gdje su a, b i c koeficijenti pravca, ili poslije eliminiranja parametara

 

U vektorskom obliku jednadžba pravca se može napisati kao

 


Krive linije u R3Uredi

Kriva linija u R3 može nastati na više načina:

Kao presjekk dvije površine:

 

U parametarskom obliku:

 

U vektorskom obliku:

 

Primjer:

Uvrnuta kriva linija se može napisati u parametarskom obliku kao

 

Dužina lukaUredi

Dužina luka na krivoj liniji je

 

Dužina luka između t0 i t je

 

TangentaUredi

Jednadžba tangente u vektorskom obliku je

 

Okomita ravanUredi

Jednadžba u vektorskom obliku za okomitu ravninu u točki s je

 


Dodirna ravninaUredi

U točki na krivoj liniji u R3 može se općenito dodati nebrojeno mnogo tangentnih ravni krivulji. Tangentna ravnina koja je kao najbliža naslonjena na krivu liniju se naziva dodirna ravnina i ima jednadžbu

 

gdje se A, B i C izračunavaju iz formula

 
 
 

ili u vektorksom obliku

 

Glavna okomicaUredi

Okomica krivulje koja leži u dodirnoj ravnini se naziva glavna okomica. Njen pravac je isti kao i pravac vektora

 

Dužina ovog vektora se naziva krivina K, a vektoor se naziva zakrivljenim vektorom:

 

Površine u R3Uredi

Površina u R3 može se napisati u parametarskom obliku

 
 
 

ili u vektorskom obliku

 

Jednadžba se može također dati kao

 

ili

 

U ovom drugom slučaju x i y se mogu smatrati paramtrima, a odakle slijedi jednadžba u parametarskom obliku:

 

Linijski elementUredi

 

Jednadžba tangente ravnineUredi

Ako je jednadžba površine

 

može se jednadžba tangente ravni napisati u dodirnoj točki (x0, y0, z0):

 

ili u vektorskom obliku kao

 

Jednadžba okomice na površinuUredi

Ako je jednadžba površine

 

onda vrijedi za okomicu površine u točki (x0, y0, z0):

 

ili