Cassinijev identitet

Cassinijev identitet je jednakost u elementarnoj teoriji brojeva koja povezuje uzastopnu trojku Fibonaccijevog niza.

Identitet je 1680. otkrio poznati talijanski matematičar Giovanni Domenico Cassini (1635.1712.), a dokazao ga je škotski matematičar Robert Simson (1687.1768.) i to 1753. godine.

Podsjetimo se da Fibonaccijev niz glasi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... U tom je nizu svaki član, počevši od trećeg, suma svoja dva neposredna prethodnika. Dakle, vrijedi

Cassinijev identitet tvrdi:

[1]

Ono što se uočava prvo je da vrijedi pa vidimo da Cassinijev identitet opisuje svojevrsnu "ravnotežu" među ova dva umnoška. Ipak, nije odmah očito da se razlikuju točno za 1 pa ćemo ovaj teorem ispod i dokazati.

DokazUredi

Ovaj se identitet lako može dokazati metodom matematičke indukcije pa ćemo to na ovom mjestu i učiniti.

Vidimo da, u ovisnosti o parnosti broja  , izraz   u formuli redom varira:  

Provjerimo sada identitet za prvu trojku   Zaista, vrijedi   Prema tome,   (1) vrijedi za barem jedan broj,  

Sada prijeđimo na iduću trojku te konstruirajmo dva umnoška,   te   dokazat ćemo da su jednaka.

Slijedi niz jednostavnih jednakosti (transformacija):   Sada koristimo (1):   i konačno dobivamo   odnosno   što upravo daje  

Za sada smo dokazali Cassinijev identitet polovično, a barem za dvije trojke:   te   Dakle, nije očito da iz   u   opet ciklički slijedi   Ako to dokažemo, postupak će se ciklički ponavljati i bit ćemo gotovi.

Zato uzmimo iduću trojku   Slično kao i prije, konstruirajmo dva umnoška   Opet, slijedi niz jednakosti:   Sada dobivamo   pa je konačno   što je i trebalo pokazati.

IzvoriUredi