Cayley-Hamiltonov teorem

Cayley-Hamiltonov teorem je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Glasi:

Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.

Promotrimo na primjer matricu

Njen karakteristični polinom je

A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

DokazUredi

Svaka matrica :  ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:

 

To jest u matričnom obliku je:

 

gdje je :  kvadratna matrica.

Definirajmo drugu matricu : , koja je jednaka:

 

gdje je :  jedinična matrica.

Inverzna matrica matrice :  je jednaka:

 

Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu sa B s lijeve i desne strane:

 
 

Slijedi:

 
 
 
 

Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:

 

Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:

 
 
 

Razvijmo sumu u red oblika:

 

Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:

 

Usporedimo ovu jednadžbu sa karakterističnim polinomom matrice : 

 

Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:

 
 

. . . . . . . . .

 
 

Ako dobijeni sistem jednadžbi pomnožimo sa A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:

 
 

. . . . . . . . .

 
 

Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:

 

Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je:

 


  Nedovršeni članak Cayley-Hamiltonov teorem koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.