e (matematička konstanta)

Matematička konstanta , još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta, je baza prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u suvremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za zbrajanje i množenje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi. Osim što je iracionalan (dakle, realan), ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...


Konstanta se može definirati kao:

  1. Limes niza brojeva
  2. Suma beskonačnog niza:
    gdje je n! faktorijela n.
  3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :
    istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.
  4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:


P math.png Nedovršeni članak E (matematička konstanta) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.

MotivacijaUredi

Kod linearnih funkcija oblika   prirast vrijednosti funkcije po prirastu ulazne vrijednosti je konstantan i iznosi   tj.  

Kod polinomnih funkcija, tj. funkcija oblika   rast se mijenja, tj. postoji funkcija koja opisuje mijenjanje vrijednosti (ili nagiba tangente na sve točke) prvobitne funkcije. Ta se nova funkcija naziva derivacija.

Kod transcedentih (nealgebarskih - prelaze granice 4 osnovne računske operacije) funkcija nagib je osobito važan, rast je eksponencijalan. Primjerice, kod funkcije   lako se može računalnim programom ustvrditi da je graf njene derivacije vrlo sličan, ali uvijek (za sve elemente iz njene domene) nešto niži. Njena derivacija je približno jednaka   Ipak, za (i jedino za) jediničan prirast ulazne vrijednosti rast izlazne je točno jednak   To se lako dokaže:   (to je jedina funkcija za koju to vrijedi).

Sada se nameće pitanje: postoji li eksponencijalna funkcija   za koju vrijedi da za beskonačno mali prirast   je prirast   točno jednak   Odgovor na ovo pitanje nije teško naći. Neka je  

Pitamo se za koji   je   Računamo:   odakle je   pa dobivamo poznati limes   Dokazuje se da je taj limes (kada  ) jednak 2.718281... </math> i nazivamo ga Eulerovim brojem i označavamo s  

Povezanost s kompleksnim brojevimaUredi

Gornji limes može se zapisati i kao   Poznato je da vrijedi  

Definicija imaginarnog eksponenta. Neka je   Definiramo   S drugačijim prikazom   dobiva se poznata Eulerova formula   Ovdje ćemo na "originalnoj" definiji broja   pikazati zašto formula vrijedi.

Množenje kompleksnih brojeva   svodi se na množenje njihovih modula i zbrajanja priklonih kuteva pa ako stavimo   vidimo da dobivamo spiralu.

Objasnit ćemo Eulerov identitet, kada je   Vratimo se na limes   Očito se radi o kompleksnom broju   kojeg uzastopno množimo sa samim sobom, baš kao u prošlom primjeru. Kako   vidimo da se naš broj vertikalnk približava apscisi. Ako primotrimo luk jedinične kružnice sa središtem u ishodištu omeđen apscisom i pravcem   vidimo da je uvijek kraći od "visine" našeg kompleksnog broja. No,   se povećava pa se razlika smanjuje, tj. prikloni kut postaje   radijana te se magnituda približava broju   Dakle,   svodi se na potenciranje magnitude (koja teži u  ) i n-terostrukog zbrajanja kuteva (koji približno iznose   radijana) što nas po kružnoj putanji ( ) dovodi u točku   To dokazuje, prema mnogima najljepšu "formulu" u matematici,