Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija

U matematici eksponencijalna funkcija je funkcija f(x) = ex gdje je broj e prirodna konstanta i baza prirodnih logritama. Funkcija f(x) = ex je definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća porastom nezavisne varijable x, gdje se brzina rasta povećava kako raste x.

Graf funkcije (slika desno) leži iznad x-osi, ali joj se asimptotski približava kako x teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog logaritma f(x) = ln(x) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.

DefinicijaUredi

 
Eksponencijalna funkcija (plavo) i vrijednost limesa za n=0 do n=8 (crveno).

Eksponencijalna funkcija ex može biti definirana kao niz potencija razvijenih u Taylorov red:

 

Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:

 

Kako n raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti ex (slika desno).

Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti

 

odnosno napisano drukčije

 

Razvoj funkcije preko limesaUredi

Očito za svaki   kada   vrijedi   Slično se vidi i da   Za dovoljno veliki   možemo reći da razlika ova dva (pozitivna) broja postaje zanemariva, tj.   pa je zaista  

Ovaj je identitet itekako koristan u realnoj analizi pri izučavanja eksponencijalnih, ali i nekih drugih funkcija. Neka imamo primjerice funkciju   Tada možemo pisati   Ovo je korisno zbog važnog svojstva funkcije   a to je  

S druge strane, gore razrađeni identitet je baza kompleksne analize. Defniramo kompleksnu eksponencijalnu funkciju   stavljajući   gdje je   Time se lako dokaže i Eulerova formula.

DerivacijaUredi

Važnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima svojstvo da je

 

što znači da je funkcija ex ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika Kex gdje je K konstanta.

Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:

  • strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
  • brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable x jednaka vrijednosti funkcije u x,
  • eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = y.

Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.


Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazomUredi

 
Graf funkcije f(x)=ax za različite baze a: baza10 (zeleno), baza e (crveno), baza 2 (plavo) i baza ½ (cijan). Svaka krivulja prolazi točkom (0,1), a za x=1 vrijednost funkcije je upravo jednaka bazi f(1)=a.

Ponekad se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika

 

gdje baza a može biti i bilo koji pozitivni realni broj, a ne nužno broj e.

Za eksponencijalne funkcije s drugim bazama vrijedi da je

 

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravniniUredi

Eksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

 

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

 

vrijedi i u kompleksnoj ravnini.

Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva:

 
 
 
 

za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda   jer vrijedi

 

i

 

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definirati općenitije da je

 

za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

 

LiteraturaUredi

  • Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
  • Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.