Fibonaccijev broj

Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definiran sljedećom rekurzivnom relacijom:

Dakle, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Primjerice, dat će , dat će , itd.

Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao , za su redom

Treba napomenuti da Fibonaccijev niz ipak može početi i s umjesto s no to često nije bitno u konkretnim razmatranjima svojstava tog niza.

Popločanje s kvadratima čije su stranice po duljini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi
Fibonaccijeva spirala, stvorena iscrtavanjem lukova koji spajaju suprotne kuteve kvadrata u Fibonaccijevom popločanju prikazanom gore – vidjeti zlatna spirala.

Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]

Osnovna svojstvaUredi

Svojstva vezana uz djeljivostUredi

  • Svaka dva uzastopna Fibonaccijeva broja su relativno prosta. Dokažimo to. Pretpostavimo da je   No, onda je   Analogno,   što povlači  
  • Vrijedi
 .

Ovo se svojstvo lako pokaže indukcijom. Za  , tvrdnja je očita. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki  . Uočimo sada da je  , tj.   (vidjeti vezu s Morseovim kodom). Kako   iz gornje jednakosti slijedi  , čime je tvrdnja dokazana.

  • Vrijedi:
 .

Neka je  . Kako, prema gornjoj jednakosti  . (Jer su   višekratnici od  .) Iz ovoga očito slijedi  . (1)

Prema Bézoutovoj lemi se   može prikazati kao linearna kombinacija   za cijele brojeve  .

Zato je   pa slijedi da se   može zapisati kao linearna kombinacija   jer je  . Dakle,  . (2)

Iz (1) i (2) slijedi  , što je i trebalo pokazati.[3]

Druga važna svojstvaUredi

  • Vrijedi   Ovo se važno svojstvo Fibonaccijevih brojeva naziva Binetova formula.
  • Vrijedi   Ovo se pravilo naziva Cassinijev identitet.[4]

Povezanost sa zlatnim rezomUredi

Ako imamo dvije dužine, jednu dužu i jednu kraću te ako je omjer duljina duže na prema kraćoj dužini jednak zlatnom rezu ( ), tada je zlatnom rezu jednak i omjer zbroja duljina duže i kraće dužine na prema duljini duže.

Vidjet ćemo da se slična relacija može naći u omjerima triju uzastopnih Fibonaccijevih broja,   Naime, iz Cassinijevog identiteta dijeljenjem obje strane s   slijedi  

Kada   možemo zanemariti drugi pribrojnik pa dobivamo   što zadovoljava povijesnu (geometrijsku) definiciju zlatnog reza navedenu gore.

Veza s Morseovim kodomUredi

Morseov kod je niz točaka i crtica. Duljinu Morseovog koda definiramo tako da svaka točka pridonosi duljinu 1, a svaka crtica duljinu 2.

Prema tome, ako imamo Morseov kod duljine n, onda možemo zamisliti da imamo n pozicija od kojih su neke spojene crticama, a na ostalima se nalaze točke.

Zato možemo zamisliti da je crtica zapravo spojnica dviju točaka, ali dvije crtice ne mogu stajati jedna pored druge (razmak mora biti najmanje jedna ili više točaka).

Označimo sada s   broj svih Morseovih kodova duljine  . Dokazat ćemo relaciju   koja je posve ekvivalentna rekurzivnoj formuli Fibonaccijeva niza.

Naime, Morseov kod duljine   može započeti točkom (takvih ima  ) ili crticom (takvih ima  ). Dakle, očito je   te vrijedi  ,   iz čega slijedi direktna veza s Fibonaccijevim nizom:  .

Važni identitetiUredi

Vrijedi:

 

Dokaz. Gore smo pokazali da je   jednak broju   svih Morseovih kodova duljine  .

Uočimo sada u svakom takvom kodu  -vu i  -tu poziciju. Morseove kodove ćemo podijeliti na one koji imaju crticu između te dvije pozicije i na one koji ju nemaju.

Jasno je da kod koji ima crticu između  -ve i  -te pozicije može na prve   pozicije imati bilo kakav Morseov kod, a potom mora imati crticu, a zatim na zadnjih   pozicija može ponovno imati bilo kakav Morseov kod pa takvih kodova očigledno ima  . S druge strane, kod koji nema crticu između  -ve i  -te pozicije može na prvih   pozicija imati bilo kakav Morseov kod, kao i na zadnjih   pozicija. Zato takvih kodova ima  , čime je identitet dokazan.

Od ostalih identiteta s Fibonaccijevim brojevima koji su vezani uz Morseov kod, po važnosti se ističu sljedeći:

  •  ,
  •  ,
  •  .[5]

Varijacije Fibonaccijevog nizaUredi

Možemo konstruirati nove nizove za koje neće nužno vrijediti   kao što to vrijedi za Fibobaccijev niz. No, željet ćemo da osnovno pravilo, odnosno identitet,   vrijedi za sve te nizove. Takve nizove jednim imenom nazivamo generalizirani Fibonaccijevi nizovi.

Uočimo da je neki takav niz   zadan ako su zadani  

No, dakako da   mogu biti negativni. Uočimo da će   kada   samo ako je   ili bez smanjenja općenitosti (možemo permutirati  ) kada je  

PrimjeriUredi

Ovdje su primjeri takvih nizova:  ,  , no možemo formirati niz za koji vrijedi   kao npr.  

Lucasovi brojeviUredi

Za   dobivamo niz tzv. Lucasovih brojeva nazvanih po francuskom matematičaru Françoisu Édouardu Anatoleu Lucasu (1842. - 1891.).

Evo prvih nekoliko članova tog niza:  

Trojke generaliziranog Fibonaccijevog nizaUredi

Tri utastopna člana   Fibonaccijevog niza zajednički zovemo trojka generaliziranog Fibobaccijevog niza. Uočimo da za   vrijedi   (Za   sustav nejednakosti   ipak ne vrijedi ako niz počinje s  )

Dakle, intuitivno je da vrijedi   Zapravo, ispravno je   prema Cassinijevom identitetu. Označimo sada s  

Pretpostavimo sada da su   dva početna broja niza za kojeg vrijedi osnovna relacija iz Fibonaccijevog niza.

Hoće li umnožak prvog i trećeg člana,  , neke trojke biti veći za 1 odnosno manji za 1 od kvadrata srednjeg člana,  , te trojke isključivo ovisi o razlici   prvog i drugog člana tog niza,  .

Ispišimo prvih nekoliko članova tog niza:  

Slučaj 1.,  Uredi

Ovdje će vrijediti   tj. vrijedit će   ako je   paran, odnosno   ako je neparan. (1)

Dokaz. Uočimo da je   Ispišimo nekoliko članova ovog niza:   Za prvu trojku   vrijedi (1) jer je   Za sljedeću trojku   računamo   odakle je   Slično se provjeri za   pa se (1) lako dokaže matematičkom indukcijom.

Dakle, vrijedit će  

Slučaj 2.,  Uredi

Slično se dokazuje da u ovom slučaju vrijedi   Odavde vidimo da ako je   će biti   za  , a ako je   vrijedit će obratno.

Fibonnacijev niz u prirodiUredi

Fibonaccijev niz se često povezuje i s brojem zlatnog reza fi (phi,  ), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza,   te podijelimo li svaki sljedeći broj s njemu prethodnim, dobiveni broj težit će broju fi:   itd. Broj   je fi zaokružen na tri decimale (fi je iracionalan). Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:

  1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
  2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema sljedećem dobili bi broj fi.
  3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
  4. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

IzvoriUredi

  1. Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
  2. Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
  3. http://services.artofproblemsolving.com › ...PDF Divisibility in the Fibonacci Numbers - Art of Problem Solving
  4. http://e.math.hr/category/klju-ne-rije-i/fibonaccievi-brojevi
  5. Za dokaze, pogledati knjigu od akademika Andreja Dujelle, Teorija brojeva, Školska knjiga, 2019.


  Nedovršeni članak Fibonaccijev broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.