Jednadžba difuzije

Jednadžba difuzije ili difuzijska jednadžba je parabolična parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda. U matematici se koristi u područjima vezanim za Markovljev lanac, dok je iznimnu važnost ima u statističkoj fizici prilikom svakoga procesa koji je rezultat nasumičnog kretanja čestica. Zbog svoje općenitosti, koristi se i u raznim drugim područjima, kao informatici, biološkim znanostima, društvenim znanostima, ekonomiji, itd.

JednadžbaUredi

Difuzijska jednadžba je definirana kao

 

gdje je ϕ(r, t) koncentracija ili gustoća promatranoga sustava u točci r i u vremenu t, a D(ϕ, r) je difuzijski koeficijent za koncentraciju ϕ i točku r. Operator ∇ vektorski diferencijalni operator nablu.

Ukoliko koeficijent difuzije ovisi o koncentraciji (ili gustoći), tada je jednadžba nelinearna. U suprotnom je linearna.

Ukoliko je koeficijent difuzije simetrična, pozitivno definirana, matrica, tada jednadžba predstavlja anizotropnu difuziju, i ima oblik:

 

Ukoliko je D konstanta, tada se jednadžba reducira na linearni diferencijalnu jednadžbu:

 

Rješenje za takav slučaj za jednu dimenziju se nalazi u obliku Gaussijana:

 

Gdje su   i   početne vrijednosti pozicije i vremena. [1]

IzvodUredi

Difuzijska jednadžba se trivijalno može izvesti kombinacijom jednadžbe kontinuiteta

 

Sa Fickovim prvim zakonom

 

Koji kaže da je tok materijala koji vrši difuziju proporcionalan lokalnom gradijentu koncentracije.

IzvoriUredi

  1. Sunko, Denis. Statisticka fizika i termodinamika (2016), bilješke autorovih predavanja iz kolegija Statistička fizike, str. 156

Vidi jošUredi