Jednadžba difuzije

Jednadžba difuzije ili difuzijska jednadžba je parabolična parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda. U matematici se koristi u područjima vezanim za Markovljev lanac, dok je iznimnu važnost ima u statističkoj fizici prilikom svakoga procesa koji je rezultat nasumičnog kretanja čestica. Zbog svoje općenitosti, koristi se i u raznim drugim područjima, kao informatici, biološkim znanostima, društvenim znanostima, ekonomiji, itd.

JednadžbaUredi

Difuzijska jednadžba je definirana kao

 

gdje je ϕ(r, t) koncentracija ili gustoća promatranoga sustava u točki r i u vremenu t, a D(ϕ, r) je difuzijski koeficijent za koncentraciju ϕ i točku r. Operator ∇ vektorski diferencijalni operator nablu.

Ako koeficijent difuzije ovisi o koncentraciji (ili gustoći), tada je jednadžba nelinearna. U suprotnom je linearna.

Ako je koeficijent difuzije simetrična, pozitivno definirana, matrica, tada jednadžba predstavlja anizotropnu difuziju, i ima oblik:

 

Ako je D konstanta, tada se jednadžba reducira na linearni diferencijalnu jednadžbu:

 

Rješenje za takav slučaj za jednu dimenziju se nalazi u obliku Gaussijana:

 

Gdje su   i   početne vrijednosti pozicije i vremena. [1]

IzvodUredi

Difuzijska jednadžba se trivijalno može izvesti kombinacijom jednadžbe kontinuiteta

 

S Fickovim prvim zakonom

 

koji kaže da je tok materijala koji vrši difuziju proporcionalan lokalnom gradijentu koncentracije.

IzvoriUredi

  1. Sunko, Denis. Statisticka fizika i termodinamika (2016), bilješke autorovih predavanja iz kolegija Statistička fizike, str. 156

Vidi jošUredi