Krivulje drugog reda

Krivulje drugog reda, konike (prema konus) ili čunjosječnice su algebarske ravninske krivulje drugoga reda nastale presjekom ravnine i kružne dvostruke stožaste plohe. To su kružnica, elipsa, parabola i hiperbola, te njihove degeneracije: par ukrštenih pravaca (ako presječna ravnina prolazi kroz vrh stošca), odnosno par usporednih pravaca (ako se vrh stošca pomakne u beskonačnost). Koja od krivulja će nastati ovisi o kutu koji ravnina zatvara s osi i izvodnicom stošca.

Vrste krivulja drugog reda:
1. parabola,
2. kružnica (dolje) i elipsa (gore),
3. hiperbola.
Presjeci stošca ravninom mogu biti krug, elipsa, parabola ili hiperbola.

Geometrijski dokaz povezanosti presjeka stošca ravninom s kružnicom, elipsom, hiperbolom i parabolom izveo je francuski matematičar Dandelin sredinom 19. stoljeća. Dokaz se služi tzv. Dandelinovim kuglama.

U pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu konike su određene općom jednadžbom:

Na primjer ako je A = C i B = 0, jednadžba opisuje kružnicu.

Konike su određene s 5 točaka. Ako 3 točke konike leže na istom pravcu, konika je degenerirana. Po takvim se krivuljama gibaju nebeska tijela manje mase u gravitacijskome polju nebeskog tijela veće mase. [1]

Uvjet A2 + B 2 +C2 ≠ 0 označava da je lijeva strana polinom drugog stupnja s varijablama x, y.

Svojstva konika:

konika normalna jednadžba numerički ekscentricitet ε linearni ekscentricitet e
kružnica
elipsa
parabola -
hiperbola

KružnicaUredi

Neka je r > 0 i S točka u ravnini. Kružnica radijusa r sa središtem u S je skup točaka te ravnine od kojih je svaka od njih za r udaljena od S. Ako je u koordinantnom sustavu x0y točka S (x0, y0) onda jednadžba kružnice glasi

(x-x0) 2 + (y -y0) 2 =r 2

Za (x0, y0) = (0,0) imamo kružnicu sa centrom u koordinantnom početku i radijusom r koja glasi

x2 + y 2 = r 2

Jednadžba x2 + y 2 =0 predstavlja točku (0, 0).

ElipsaUredi

Neka je 2a> 0 realan broj ,F1 i F2 različite točke ravnine čija je udaljenost

│F1 F2│ = 2e < 2a.

Elipsa sa žarištima u F1 i F2 je skup točaka ravni sa osobinom da za svaku tačku skupa vrijedi

│F1T│ + │F2 T│= 2 a

Ako točke F1 i F2 leže na x osi sustava x0y i imaju koordinate F1( -e,0) i F2 ( e ,0) jednadžba elipse glasi

b2 x2 + a2 y 2 = a2b 2

HiperbolaUredi

Neka je 2a< 2e realan broj , F1 i F2 različite točke ravnine čija je udaljenost

│F1 F2│= 2e > 2a.

Hiperbola sa žarištima F1 i F2 je skup točaka ravnine sa osobinom da za svaku točku T tog skupa vrijedi

│F1T│ - │F2 T│= 2 a

Za F1 ( -e, 0) i F2 (e , 0) vrijedi

b2 x2- a2 y 2 = a2b 2

ParabolaUredi

Neka su u ravnini zadani pravac i točka van tog pravca. Parabola je skup točaka te ravnine od kojih je svaka udaljena od zadanog pravca isto koliko i od zadane točke. Dana točka je žarište, a pravac ravnalica parabole.

Ako je p udaljenost od ravnalice, a žarište je u sustavu x0y i ima koordinate (0, p/2), jednadžba parabole glasi

y2 = 2px

IzvoriUredi

  1. konike (čunjosječnice), [1] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2018.