Kvadrat (aritmetika)

U aritmetici kvadratom broja x nazivamo broj koji x daje pomnožen sam sa sobom. Operacija kojom dobivamo kvadrat naziva se kvadriranje. Oznaka za kvadrat je broj 2 kojeg pišemo povišeno (u superskriptu) desno od broja kojeg kvadriramo, npr. 32, a čita se "na kvadrat" ili rjeđe "kvadrirano". Primjerice:

Graf kvadratne funkcije

Naziv potječe iz geometrije: kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri jednake stranice. Iznos njegove ploštine dobivamo kvadriranjem duljine njegove stranice.

Kvadriranje je poseban slučaj potenciranja. Naime, kvadrat je isto što i 2. potencija broja. Daljnjim množenjima s početnim brojem dobivamo 3. potenciju - kub, 4. potenciju itd.

Brojeve koji su kvadrati cijelih brojeva nazivamo potpunim kvadratima. To su 0, 1, 4, 9, 16... Većina pozitivnih cijelih brojeva nisu potpuni kvadrati, te se takvi često javljaju u teoriji brojeva. Međutim, svaki nenegativni realni broj (pozitivni ili nula) kvadrat je nekog realnog broja, te je svaki kompleksni broj kvadrat nekog kompleksnog broja.

Funkcija na skupu pridjeljuje svakom realnom broju njegov kvadrat. Takva funkcija je kvadratna funkcija, a njezin graf je jedinična parabola. Njen inverz je drugi korijen ili kvadratni korijen .

Kvadrat negativnog broja jednak je kvadratu njemu suprotnog pozitivnog broja (njegovog aditivnog inverza):

Svi kvadrati realnih brojeva su pozitivni brojevi, te je svaki pozitivni realni broj kvadrat dvaju brojeva, oblika x i −x. (Jedino je nula kvadrat samo jednog broja - nule.) Za oba ta broja može se reći da su korjenovi početnog broja, ali konvencionalno definiramo da je x uvijek pozitivan broj za realan x. Općenitije, u skupu kompleksnih brojeva vrijedi da svaki broj različit od nule ima dva kompleksna broja kojima je kvadrat.

Iracionalni i kompleksni brojeviUredi

Pitagorejce, koji su znali za cijele i racionalne brojeve, mučio je problem nalaženja duljine dijagonale kvadrata čija je duljina stranice poznata. Naime, odnos duljine dijagonale kvadrata prema duljini stranice je 2 : 1. Euklid je dokazao da je drugi korijen iz 2 iracionalan broj. To je vjerojatno prvi dokaz da postoje brojevi koji nisu racionalni.

Kompleksni i imaginarni brojevi također vuku podrijetlo iz svojstva kvadrata. Imaginarni brojevi se u biti definiraju kao odgovor na pitanje: koji broj ima kvadrat koji je negativan broj?