Kvaternion
U matematici, kvaternioni su algebarsko proširenje kompleksnih brojeva. Za razliku od kompleksnih brojeva, kvaternioni imaju tri imaginarne jedinice, koje se označavaju s i, j i k i za koje vrijedi:
Ova relacija je definicija imaginarnih jedinica kvaterniona.
Za razliku od kompleksnih i realnih brojeva, množenje kvaterniona nije komutativno i vrijedi:
Skup kvaterniona se označava sa u čast irskom matematičaru Williamu Rowanu Hamiltonu, koji ih je prvi formulirao.
Definicija
urediU trodimenzionalnom prostoru, jedinični vektori triju dimenzija zapisuju se pomoću kvaterniona.
Kvaternion , sastoji se od skalarnog dijela a i vektorskog dijela (kvaternion ).
Prostorne matematičke operacije
urediKonjugacija
urediKonjugacija je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original , konjugat q* znosi . Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj s kompleksnim brojevima:
Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje skalarnog i vektorskog dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom dok je vektorski dio jednak .
Modul ili norma
urediKvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se modulom ili normom kvaterniona. Modul predstavlja duljinu kvaterniona u prostoru:
Jedinični kvaternion
urediJedinični kvaternion je kvaternion kojemu je modul jednak 1. Operacija podjele kvaterniona i njegovog modula uvijek će dati jedinični kvaternion, još zvan i verzorom tog kvaterniona:
Polarne koordinate kvaterniona moguće je zapisati kao umnožak modula (duljine) i jediničnog kvaterniona: .
Recipročni kvaternion moguće je opisati kao količnik konjugata i norme: