Otvori glavni izbornik

U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne i obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se povijesno prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je , polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva , polje kompleksnih brojeva i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka . Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

Ekvivalentne definicijeUredi

Definicija 1Uredi

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

Definicija 2Uredi

Polje je komutativni prsten ( , +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od   osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3Uredi

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

Zatvorenost od   za + i * 
 ,   i   (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
+ i * su asocijativne operacije 
 ,   i  .
+ i * su komutativne operacije 
 ,   i  .
Vrijedi distributivnost operacije * prema + 
 ,  .
Postojanje neutralnog elementa za zbrajanje 
  takav da je  ,  .
Postojanje neutralnog elementa za množenje 
  takav da je  ,  .
Postojanje inverza za zbrajanje 
  , takav da je  .
Postojanje inverza za množenje 
 ,  , takav da je  .

Uvjet da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su ( , +) i ( , *) komutativne grupe (Abelove grupe), i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a−1 jedinstveno određeni sa a. Ostala korisna pravila uključuju:

a = (−1) * a

i općenitije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b),

kao i

a * 0 = 0.

PrimjeriUredi

  • Kompleksni brojevi  , s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća potpolja:
  • Racionalni brojevi   |  , gdje je   skup cijelih brojeva, a   skup prirodnih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih potpolja.