Polje (matematika)
U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.
Sva polja su prsteni, ali ne i obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se povijesno prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.
Osnovni primjer polja je , polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva , polje kompleksnih brojeva i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka . Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.
Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.
Ekvivalentne definicije
urediDefinicija 1
urediPolje je komutativan prsten s dijeljenjem.
Definicija 2
urediPolje je komutativni prsten ( , +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).
Definicija 3
urediEksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:
- Zatvorenost od za + i *
- , i (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
- + i * su asocijativne operacije
- , i .
- + i * su komutativne operacije
- , i .
- Vrijedi distributivnost operacije * prema +
- , .
- Postojanje neutralnog elementa za zbrajanje
- takav da je , .
- Postojanje neutralnog elementa za množenje
- takav da je , .
- Postojanje inverza za zbrajanje
- , takav da je .
- Postojanje inverza za množenje
- , , takav da je .
Uvjet da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su ( , +) i ( , *) komutativne grupe (Abelove grupe), i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a−1 jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju:
- −a = (−1) * a
i općenitije
- −(a * b) = (−a) * b = a * (−b),
kao i
- a * 0 = 0.
Primjeri
uredi- Kompleksni brojevi , s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća potpolja:
- Racionalni brojevi | , gdje je skup cijelih brojeva, a skup prirodnih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih potpolja.