Popis trigonometrijskih identiteta

popis na Wikimediji

Trigonometrijski identiteti su izrazi jednakosti koji pokazuju poveznice između pojedinih trigonometrijskih funkcija. Ti izrazi su istiniti za svaku odabranu vrijednost određene varijable (kuta ili nekog drugog broja). Kako su trigonometrijske funkcije međusobno povezane pomoću vrijednosti jedne, moguće je izraziti neku drugu funkciju. Identiteti se koriste kada je potrebno pojednostaviti izraze koji uključuju trigonometrijske funkcije.

NazivljeUredi

KutoviUredi

 Podrobniji članak o temi: Kut
Imena kutova se daju prema slovima grčkog alfabeta kao što su alfa (α), beta (β), gama (γ), delta (δ) i theta (θ). Mjerne jedinice za mjerenje kutova su stupnjevi, radijani i gradi:

1 puni krug  = 360 stupnjeva = 2  radijana  =  400 gradi.

Sljedeća tablica prikazuje pretvorbu mjernih jedinica za određene veličine kuteva:

Stupnjevi 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Radijani                
Gradi 33⅓ 66⅔ 133⅓ 166⅔ 233⅓ 266⅔ 333⅓ 366⅔
Stupnjevi 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Radijani                
Gradi 50 100 150 200 250 300 350 400

Kutovi se u trigonometriji najčešće izražavaju u radijanima i to bez mjerne jedinice, stupnjevi s oznakom ° se manje koriste, a gradi izrazito rijetko.

Trigonometrijske funkcijeUredi

 Podrobniji članak o temi: Trigonometrijske funkcije
Primarne trigonometrijske funkcije su sinus i kosinus kuta. Sinus se označava sa sinθ, a kosinus sa cosθ pri čemu je θ naziv kuta.

Tangens (tg, tan) kuta je omjer sinusa i kosinusa:

 

S druge strane, imamo i recipročne funkcije pri čemu je kosinusu recipročan sekans (sec), sinusu kosekans(csc, cosec), a tangensu kotangens (ctg, cot):

 

Inverzne funkcijeUredi

 Podrobniji članak o temi: Inverzne trigonometrijske funkcije
Inverzne trigonometrijske funkcije ili arkus funkcije su inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama. Prema tome imamo, arkus sinus (arcsin, asin) je inverzna funkcija sinusnoj funkciji , pri čemu vrijedi da je

 

i

 

U sljedećoj tablici su prikazane i druge komplementarne inverzne funkcije i kratice:

Trigonometrijska funkcija Sinus Kosinus Tangens Sekans Kosekans Kotangens
Kratica            
Inverzna trigonometrijska funkcija Arkus sinus Arkus kosinus Arkus tangens Arkus sekans Arkus kosekans Arkus kotangens
Kratica            

Pitagorin trigonometrijski identitetUredi

Pitagorin trigonometrijski identitet je jedan od osnovnih trigonometrijskih identiteta i prikazuje odnos između sinusa i kosinusa:

 

gdje cos2 θ znači (cos(θ))2 i sin2 θ znači (sin(θ))2.

Izraz je u biti izvedenica Pitagorinog poučka i proizilazi iz jednakosti   koja vrijedi za jediničnu kružnicu. Ova jednadžba može biti rješena za sinus i za kosinus:

 

Povezani identitetiUredi

Podijelivši Pitagorin identitet sa cos2 θ ili sa sin2 θ dobivamo sljedeća dva identiteta:

 

Koristeći navedene identitete te omjere koji su korišteni pri definiranju trigonometrijskih funkcija, mogu se izvesti trigonometrijski identiteti gdje je jedna trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge:

Svaka trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge trigonometrijske funkcije[1]
in terms of            
             
             
             
             
   
         
             

Ostale funkcije korištene u prošlostiUredi

 
Sve trigonometrijske funkcije kuta θ mogu biti geometrijski konstruirane s obzirom na jediničnu kružnicu sa središtem u  O. Pojedine se višse ne koriste.

Pojedine trigonometrijske fukcije više nisu u uporabi. Versinus, koversinus, haversinus i eksekans su se koristile pri navigaciji, a haversinusna formula se koristila za računanje udaljenosti dviju točaka na sferi.

Ime Kratica Vrijednost[2]
Versinus  
 
 
 
Verkosinus    
Koversinus  
 
 
Koverkosinus    
Haversinus    
Haverkosinus    
Hakoversinus    
Hakoverkosinus    
Eksekans    
Ekskosekans    
Tetiva    

Simetrija, pomak i periodičnostUredi

Proučavajući jediničnu kružnicu mogu se uvidjeti pojedina svojstva trigonometrijske kružnice kao što su simetrija, razni pomaci i periodičnost funkcija. Formule u sljedeće dvije tablice se često nazivaju formule redukcije.

SimetrijaUredi

Kada neku trigonometrijsku funkciju odbijemo za određeni kut (npr. π,π/2) rezultat često bude neka druga trigonometrijska funkcija.

Odbitak za  [3] Odbitak za  
[4]
Odbitak za  
     

Pomaci i periodičnostUredi

Pomicanjem funkcije za određeni kut također se kao rezultat dobije neka druga trigonometrijska funkcija koja rezultat prikaže jednostavnije. To možemo vidjeti u primjerima pomaka za π/2, π i 2π radijana. S obzirom da su trigonomterijeske funkcije periodične, ovisno o funkciji za π (tangens i kotangens funkcija) ili 2π (sinus i kosinus funkcija), tada nova funkcija poprima istu vrijednost.

Pomak za π/2 Pomak za π
Period for tan and cot[5]
Pomak za 2π
Period for sin, cos, csc and sec[6]
     

Zbroj i razlika kutovaUredi

Ovi trigonometrijski identiteti se nazivaju adicijske formule. Otkrio ih je prezijski matematičar Abū al-Wafā' Būzjānī u 10. stoljeću. Eulerova formula može pomoći pri dokazivanju ovih identiteta.

Sinus  [7]
Kosinus  [8]
Tangens  [9]
Arkus sinus  [10]
Arkus kosinus  [11]
Arkus tangens  [12]

Matrični oblikUredi

 Podrobniji članak o temi: Množenje matrica
Trigonometrijske formule zbroja i razlike za sinus i kosinus mogu biti zapisani u obliku matrice.

 

Sinus i kosinus zbroja beskonačno mnogo veličinaUredi

 
 

Tangens zbroja konačno mnogo veličinaUredi

Neka je   (za k ∈ {0, ..., n}) k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma pri čemu je

 

za i ∈ {0, ..., n} pa slijedi

 

Tada vrijedi da je

 

u ovisnosti o broju n.

Na primjer:

 

i tako dalje. Naveden identitet se može dokazati matematičkom indukcijom.[13]

Sekans i kosekans zbroja konačno mnogo veličinaUredi

 

gdje je   k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma za n varijabla xi = tan θi, i = 1, ..., n, a broj veličina u nazivniku ovisi o  n.

Na primjer,

 

Identiteti za višestruke kutoveUredi

Tn je n-ti Chebyshevljev polinom    
Sn je n-ti polinom širine  
De Moivreova formula,   je imaginarna jedinica      [14]

Trigonomterijski identiteti dvostrukih, trostrukih i polovičnih kutovaUredi

 Podrobniji članak o temi: Formula tangensa polovičnih kutova

Formule dvostrukog kuta[15]
 


 
 
 

Formule trostrukog kuta
 


 
 
 

Formule polovičnog kuta[16]
 


 
 
 
 
 
 
 

Sinus, kosinus i tangens višestrukih kutovaUredi

 

 

 

 

Chebyshevljeva metodaUredi

Chebyshevljeva metoda je rekurzivni algoritam za nalaženje formula n-tih višestrukih kutova poznavajući (n − 1)-te i (n − 2)-te formule.[17]

 
 
 

gdje je H/K = tan(n − 1)x.

Tangens prosjekaUredi

 

Ako su α ili β jednaki 0 tada dobivamo formulu za tangens polovičnog kuta.

Vièteov beskonačni produktUredi

 

Identiteti potenciranih trigonometrijskih funkcijaUredi

Sinus Kosinus Druge
     
     
     
     

Za izvode potencija sinus i kosinusa kuta se koriste De Moivreova formula, Eulerov poučak i binomni poučak.

Kosinus Sinus
     
     

Formule pretvorbi umnoška u zbroj i zbroja u umnožakUredi

Umnožak u zbroj[18]
 
 
 
 
Zbroj u umnožak[19]
 
 
 

Drugi povezani identitetiUredi

Ako su x, y i z bilo kojeg trokuta, tada vrijedi

 
 

odnosno

 
 

Hermiteov kotangensov identitetUredi

 Podrobniji članak o temi: Hermiteov kotangensov identitet

Charles Hermite je pokazao da vrijedi određena jednakost[20] gdje su varijable a1, ..., an kompleksni brojevi. Neka je

 

te u slučaju kada je A1,1, dobiva se prazan produkt, koji je jednak  1. Općenito se dobiva sljedeća vrijednost:

 

U najjednostavnijem slučaju za n = 2 vrijedi:

 

Ptolemejev teoremUredi

Ove jednakosti predstavljaju trigonometrijski oblik ptolomejevog teorema.

 
 

Linearne kombinacijeUredi

 Podrobniji članak o temi: Fazni vektor
Bilo koja linearna kombinacija sinusnih valova istih perioda ili frekvencija s različitim faznim pomacima je također sinusni val sa istom periodom ili frekvencijom s različitim faznim pomakom. Kod nenulte linearne kombinacije sinusnog i kosinusnog vala [21], se dobiva

 

gdje je

 

što je ekvivalentno s

 

ili čak s

 

Općenito za proizvoljan fazni pomak vrijedi

 

gdje je

 

i

 

Lagrangeovi trigonometrijski identitetiUredi

Ovi identiteti su ime dobili po Josephu Louisu Lagrangeu.[22][23]

 

S njima je povezana funkcija koja se naziva Dirichletova jezgra.

 

Ostali oblici zbrojeva trigonometrijskih funkcijaUredi

Zbroj sinusa i kosinusa sa varijablama u aritmetičkom nizu [24]:

 

Za bilo koji a i b vrijedi:

 

gdje je atan2(y, x) poopćenje funkcije arctan(y/x) koja pokriva cijeli kružni opseg.

Koristeći Gudermannovu funkciju koja povezuje cirkularne i hiperbolne trigonometrijske funkcije bez korištenja kompleksnih brojeva može se iskoristiti sljedeći izraz:

 

Ako su x, y i z ako su kutovi bilo kojeg trokuta odnosno x + y + z = π, tada je

 

Određene linearne frakcionalne transformacijeUredi

 Podrobniji članak o temi: Möbiusova transformacija
Ako je ƒ(x) dan linearnom frakcionalnom transformacijom

 

i slično tome

 

tada vrijedi

 

Kraće rečeno, ako je za sve α funkcija ƒα baš ta gore prikazana funkcija ƒ tada vrijedi da je

 

Identiteti s inverznim trigonometrijskim funkcijamaUredi

 
 
 

Kompozicija trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcijaUredi

   
   
   
   

Povezanost sa kompleksnom eksponencijalnom funkcijomUredi

 [25] Ovaj se izraz naziva Eulerova formula,
 
  Ovaj se izraz naziva Eulerov identitet,
 [26]
 [27]

odnosno

 

gdje je  .

Povezanost s beskonačnim produktimaUredi

 Podrobniji članak o temi: Beskonačni produkti
Pri rješavanju specijalnih funkcija, različite koristimo formule koje povezuju beskonačni produkt i trigonometrijske funkcije:[28][29]

 
 
 
 
 
 

Identiteti bez varijabliUredi

Identitet bez varijabli

 

je poseban slučaj identiteta s jednom varijablom:

 

Nadalje, također vrijedi da je

 
 
 
 
 

Mnogo jednakosti ima osnovu u izrazima kao što su[30]:

 

i

 

Njihovom kombinacijom dobivamo:

 

Ako je n neparan broj(n = 2m + 1) korištenjem simetrije dobivamo

 

Određivanje broja πUredi

 
 

Mnemonički zapis za neke vrijednosti sinusa i kosinusaUredi

 

Zlatni rez φUredi

 Podrobniji članci o temama: Zlatni rez i Trigonometrijske konstante

 
 

Euklidov identitetUredi

 

Infinitezimalni računUredi

DerivacijeUredi

 Podrobniji članci o temama: Derivacija i Popis derivacija trigonometrijskih funkcija
Koristeći infinitezimalni račun, kutovi pri računanju moraju biti u radijanima. Derivacije trigonometrijskih funkcija mogu se odrediti pomoću dva limesa:

 
 

Deriviranjem trigonometrijskih funkcija dobivaju se sljedeći identiteti i pravila:[31][32][33]

 

IntegraliUredi

 Podrobniji članci o temama: Integrali i Popis integrala trigonometrijskih funkcija

 
 
 

Eksponencijalne definicije trigonometrijskih funkcijaUredi

Funkcija Inverzna funkcija[34]
   
   
   
   
   
   
   

Weierstrassova supstitucijaUredi

 Podrobniji članak o temi: Weierstrassova supstitucija

Ako je

 

tada vrijedi [35]

 

gdje je eix = cos(x) + i sin(x), što ponekad skraćeno pišemo kao  cis(x).

Vidi jošUredi

BilješkeUredi

  1. Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
  2. Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147
  3. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
  4. The Elementary Identities
  5. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
  6. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
  7. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
  8. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
  9. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
  10. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
  11. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
  12. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
  13. Bronstein, Manual (1989). "Simplification of Real Elementary Functions". Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 international symposium on Symbolic and algebraic computation: 211
  14. Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
  15. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
  16. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
  17. Ken Ward's Mathematics Pages, http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm
  18. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
  19. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
  20. Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities à la Hermite", American Mathematical Monthly, volume 117, number 4, April 2010, pages 311–327
  21. Proof at http://pages.pacificcoast.net/~cazelais/252/lc-trig.pdf
  22. Eddie Ortiz Muñiz (February 1953). "A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities". American Journal of Physics 21
  23. Alan Jeffrey and Hui-hui Dai (2008). “Section 2.4.1.6”, Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 4th, Academic Press ISBN 9780123742889
  24. Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression
  25. Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47
  26. Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2
  27. Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1
  28. Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
  29. Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
  30. Weisstein, Eric W., "Sine" from MathWorld
  31. Abramowitz and Stegun, p. 77, 4.3.105–110
  32. Abramowitz and Stegun, p. 82, 4.4.52–57
  33. Finney, Ross (2003). Calculus : Graphical, Numerical, Algebraic, str. 159–161, Glenview, Illinois: Prentice Hall ISBN 0-13-063131-0
  34. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31
  35. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23

IzvoriUredi

Vanjske povezniceUredi