Razlika između inačica stranice »Bifurkacijski dijagram«

m
Bot: standardizacija
m (Bot: standardizacija)
m (Bot: standardizacija)
 
== Populacijska jednadžba ==
[[SlikaDatoteka:Logistic map solutions (r 2.5).gif|mini|350px|''r''=2.5]]
Populacijska jednadžba nastala je kao pokušaj matematičkog predviđanja mijenjanja [[populacija|populacije]] određene vrste (biljaka, životinja...) na određenom području kroz godine: <math> x_{n+1}=rx_n(1-x_n)</math>. Konstanta ''r'', koja može biti bilo koji [[racionalan broj]] između 0 i 4, naziva se kontrolnim parametrom i služi za reguliranje uvjeta preživljavanja (stupanj razmnožavanja, količina hrane, neprijatelja itd.), dok ''x<sub>n</sub>'' predstavlja omjer trenutnog i najvećeg mogućeg broja jedinki u ''n''-toj godini (dakle, moguće su joj vrijednosti između 0 i 1). Ako bismo za vrijednost konstante ''r'' uzeli 2.5, te počeli od <math>x_0 = 0.9</math>, vidjeli bismo da rješenja konvergiraju jednoj vrijednosti (0.6). Drugim riječima, ona čine '''atraktor perioda-1'''. Ponovimo li postupak s ''r'' = 3.3, vidjet ćemo da rješenja naizmjenično konvergiraju dvijema vrijednostima (0.479427 i 0.823603), odnosno čine '''atraktor perioda-2'''. Tako se za različite vrijednosti ''r'' dobivaju atraktori perioda-4, perioda-8, perioda-16 itd. No, ako uzmemo ''r'' = 3.79, dobit ćemo potpuno kaotična rješenja.
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| [[SlikaDatoteka:Logistic map solutions (r 3.3).gif|mini|350px|''r''=3.3]] || [[SlikaDatoteka:Logistic map solutions (r 3.79).gif|mini|350px|''r''=3.79 ]]
|}
 
[[SlikaDatoteka:Bifurcation.gif|mini|350px|Bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe]]
Dosad smo crtali <math>x_n / n</math> dijagrame, prikazujući kretanje populacije kroz vrijeme, posebno za različite vrijednosti r. Nacrtajmo sada <math>x_n / r</math> dijagram da bismo vidjeli kako se rješenja mijenjaju za određene vrijednosti r. Za svaki r nacrtat ćemo u y-smjeru sva rješenja za 2000 < n < 4000. Prvih 2000 iteranada ne uzimamo jer, kao što smo vidjeli, kod atraktorâ određenog perioda rješenja poprimaju određene vrijednosti tek nakon nekog vremena. Takav se graf naziva bifurkacijskim dijagramom. Za r < 1 sve su vrijednosti jednake nuli, što znači da će populacija izumrijeti. U području 1 < r < 3 sve su točke sažete u jednu liniju, dakle rješenja konvergiraju jednoj vrijednosti. U 3 < r < 3.4 graf se račva, što znači da za te vrijednosti r rješenja konvergiraju dvijema vrijednostima. Za r > 3.79 ne vidimo nikakve logičnosti, odnosno vidimo da su rješenja kaotična, ne konvergiraju nijednom rješenju.
 
88.144

uređivanja