David Hilbert: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
mNema sažetka uređivanja
Redak 1:
[[Datoteka:Hilbert.jpg|mini|200px|David Hilbert]]
'''David Hilbert''' ([[23. siječnja]] [[1862.]] – [[14. veljače]] [[1943.]]) bio je [[Njemačka|njemački]] [[matematika|matematičar]], priznat kao jedan od najutjecajnijih i najsvestranijih matematičara [[19. stoljeće|devetnaestog]] i ranog [[20. stoljeće|dvadesetog]] stoljeća. Izumio je ili razvio velik broj fundamentalnih ideja u teoriji invariantnosti, aksiomatizaciji geometrije i pojam Hilbertovog prostora jednog od osnova funkcijske analize. Hilbert je prilagodio i branio Kantorovu teoriju skupova i teoriju beskonačnih brojeva. Poznat primjer njegovog rada u matematici je njegova prezentacija 1900.godine gdje je predstavio zbirku od 23 problema koja je odredila smjer istraživanja u matematici tokom 20-og stoljeća.
 
Poznat primjer njegovog rada u matematici je njegova prezentacija [[1900.]] godine gdje je predstavio zbirku od 23 problema koja je odredila smjer istraživanja u matematici tokom 20. stoljeća. Sa svojim studentima dao je značajan doprinos u osnovama kvantne mehanike i teorije relativnosti. Također je poznat kao jedan od utemeljitelja teorije dokaza, matematike logike i razlikovanja između matematike i metamatematike. O svemu detaljnije govori ovaj seminarski rad.
 
== Životopis Davida Hilberta ==
Hilbert je bio jedini sin Otta i Marije Therese (Erdtmann) Hilbert, rođen u Wehlau (Znamensk) kraj Königsberg[[Kalinjingrad|Königsberga]] (Kaliningrad)u utadašnjoj Pruskoj. U jesen 1872g[[1872.]] upisuje Friedrichskolleg gimnaziju ( istu školu koju je 140g.140 godina prije njega pohađao [[Immanuel Kant]]), ali se 1879g[[1879.]] prebacio i 1880g[[1880.]] završio znanstveno orijentiraniju gimnaziju u Wilhelm. U jesen iste godine upisuje fakultet u Königsbergu. Tamo se sprijateljio sa talentiranim Hermannom Minkowskim. Godine [[1884.]] Adolf Hurwitz, sa fakulteta u Göttingen, postaje izvanredni profesor na fakultet u Königsbergu. Od tada njihova međusobna razmjena znanstvenih ideja ima značajan utjecaj na njihove znanstvene karijere. Hilbert je doktorirao 1885.]] godine, sa dizertacijom pod nazivom „Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen“ („O nepromjenjivim svojstvima posebnih binarnih formi, sa naglaskom na sferne harmonijske funkcije“).
 
Na istom fakultetu ostaje kao profesor od 1886g. do 1895g. Oženio se 1892g. sa Käthe Jerosch i imao je jednog sina. Godine 1895,. na zagovornagovor Felixa Kleina dolazi na poziciju predstojnika katedre za matematiku na fakultetu u Göttingenu, u to vrijeme najboljem centru za znanstvena istraživanja u području matematike na svijetu, gdje ostaje do umirovljenja 1930g[[1930.]] godine. Njegov najbolji prijatelj, Minkowski umire [[1909.]] godine.
Nažalost njegov najbolji prijatelj, Minkowski umire 1909g.
=== Göttingenska škola ===
Među Hilbertovim učenicima bili su: Hermann Weyl, šahovski prvak Emanuel Lasker, Ernst Zermelo, Carl Gustav Hempel i kasnije poznati matematičari: Otto Blumenthal (1898.), Felix Bernstein (1901.), Hermann Weyl (1908.), Richard Courant (1910.), Erich Hecke (1910.), Hugo Steinhaus (1911.), Wilhelm Ackermann (1925.). Na fakultetu je okružen s nekima od najznačajnijih matematičara 20-og. stoljeća, kao što su Emmy Noether i Alonzo Church. Između 1902. i 1939. Hilbert je urednik „Mathematische Annalen“, vodećeg matematičkog časopisa toga vremena.
 
=== Kasnije godine života ===
Hilbert je doživio [[nacizam|nacističke]] progone mnogih uvaženih članova fakulteta 1933g1933. godine, među njima i Hermanna Weyla, koji ga je naslijedio na katedri nakon umirovljenja 1930g1930. godine. Njemačku je morao napustiti i Paul Bernays, njegov suradnik na području matematičke logike i koautor značajne knjige Die Grundlagen der Mathematik (izdane 1934. i 1939godine1939. godine). To je bio nastavak knjige Hilberta i Ackermanna „Načela teorijske logike“ iz 1928g1928. godine. Do Hilbertove smrti 1943. godine, nacisti su otjerali većinu znanstvenika sa fakulteta tako da je njegovom sprovodu prisustvovala samo nekolicina akademika.
Do Hilbertove smrti 1943, nacisti su otjerali većinu znanstvenika sa fakulteta tako da je njegovom sprovodu prisustvovala samo nekolicina akademika.
 
Na njegovom spomeniku u Göttingen, piše :
Mi moramo znati.
Mi ćemo znati.
 
== Hilbertov osnovni teorem ==
Hilbertov prvi rad na nepromjenljivim funkcijama doveo ga je 1888g1888. do poznatog teorema konačnosti. Dvadeset godina ranije, Paul Gordan je demonstrirao teorem o konačnosti generatora binarnih oblika koristeći vrlo komplicirane proračune koji su onemogućili poopćavanje same metode na funkcije sa više od dvije varijable. Hilbert je uočio potrebu sasvim drugačijeg pristupa. Kao rezultat demonstrirao je „Hilbertov osnovni teorem“ koji pokazuje postojanje konačnog skupa generatora neovisno o broju varijabli, u apstraktnom obliku.
Hilbertov osnovni teorem kaže da ako je k polje, tada je svaki ideal u prstenu sastavljenom od više varijabilnih polinoma. k[x1, x2, ..., xn] konačno generiran. Gledano u algebarskoj geometriji, algebarski skup nad k može biti opisan kao zajednički skup rješenja konačno mnogo polinomijalnih jednadžbi.
 
Hilbert je došao do dokaza kontradikcijom koristeći se matematičkom indukcijom. Njegova metoda nam ne daje algoritam koji će proizvesti konačno mnogo osnovnih polinoma za dani ideal, nego samo pokazuje njihovo postojanje.
 
Jednostavnija verzija Hilbertovog osnovnog teorema nam kaže: ako je R lijevi ( odnosno desni) Noetherian prsten, tada polinomijalni prsten R[X] je isto lijevi (odnosno desni) Noetherian.
Za , ako je , an ≠ 0, tada degf: = n i an je vodeći koeficijent od f . Neka I bude ideal u R[x] i pretpostavimo da I nije konačno generiran.Tada induktivno konstruiramo niz f1,f2,... elemenata od I takav da fi + 1 ima minimalan stupanj među elementima od , gdje je Ji ideal generiran od f1,...,fi.
Line 33 ⟶ 34:
 
== Aksiomatizacija geometrije ==
U tekstu „Grundlagen der Geometrie“ (Osnove geometrije) koju objavljuje 1899. Hilbert predlaže set tzv. Hilbertovih aksioma kojima zamjenjuje tradicionalne Euklidove aksiome. Ti aksiomi ispravljaju slabosti uočene kod Euklidovih aksioma koji su se do tada koristili doslovce kao što su napisani. Neovisno o Hilbertu 19-o godišnji student Robert Lee Moore je objavio jednaki set aksioma. Neki od njih se podudaraju a neki odgovaraju teoremima u hilbertovom setu i obrnuto. Hilbertov pristup označio je prebacivanje na modernu aksiomatsku metodu.Aksiomi se vise ne uzimaju kao istiniti sami po sebi.
Hilbertov pristup označio je prebacivanje na modernu aksiomatsku metodu.Aksiomi se vise ne uzimaju kao istiniti sami po sebi.
 
Geometrija može tretirati stvari, o kojima imamo snažnu intuiciju, ali nije nužno pridijeliti ekplicitno značenje nedefiniranim konceptima. Elementi kao što su: točka, dužina, ravnina i ostali mogu se zamijeniti, kao što je Hilbert rekao stolovima, stolicama, čašama piva i ostalim takvim objektima. Bitan je samo njihov definirani odnos.
 
Hilbert prvi označava nedefinirane koncepte: točka, linija, ravnina, leži na (odnos između točaka i ravnina), između, kongruencija parova točaka i kongruencija kutova. Aksiomi ujedinjavaju geometriju ravnine i geometriju prostora u jedan sistem.
 
Line 105 ⟶ 106:
Hilbert i njegovi talentirani matematičari s kojima je radio bili su potpuno predani svom radu. Nastojali su poduprijeti aksiomatiziranu matematiku sa definiranim principima, kojima su mogli izbaciti sve nesigurnosti u teoriji, ali na kraju ipak nisu uspjeli.
 
Gödel je pokazao da svaki ne protuslovni formalni sistem koji bi bio dovoljno opsežan da bi uključio barem aritmetiku ne može sam svojim aksiomima pokazati svoju potpunost. Godine 1931,. njegov teorem nepotpunosti pokazao je da Hilbertov veliki plan od početka nije bio moguć.
Sljedeća dostignuća teorije dokaza , u najmanju ruku, razjašnjavaju dosljednost koja se odnosi na teorije kojima su matematičari zaokupljeni. Hilbert svojim radom započinje logički pristup razjašnjavanju problema. Potreba za razumijevanje Gödelovog rada, na kraju dovodi do razvoja rekurzivne teorije i matematičke logike kao zasebne discipline u 1930-ima.
 
== Funkcionalna analiza ==
Oko 1909. godine, Hilbert se posvećuje istraživanju diferencijalnih i integralnih jednadžbi, te je tako izravno utjecao na veliki dio moderne funkcionalne analize. Kako bi proveo svoja istraživanja, Hilbert uvodi koncept beskonačno dimenzionalnog Euklidovog prostora, kasnije nazvanog Hilbertov prostor. Njegov rad u ovom području analize daje važan doprinos matematici u fizici. Kasnije je Stefan Banach proširio njegov koncept te ga nazvao Banach-ov prostor. Koncept Hilbertov prostor je najvažnija ideja u području funkcionalne analize u dvadesetom stoljeću.
 
=== Hilbertov prostor ===
Line 125 ⟶ 126:
 
== Doprinos u fizici ==
Do 1912. godine, Hilbert je bio isključivo matematičar. Čak ga je i njegov prijatelj i kolega matematičar Hermann Minkowski, koji se u Bonnu bavio istraživanjima u fizici, šalio da bi trebao provesti 10 dana u karanteni prije nego li posjeti Hilberta. Zapravo, Minkowski je najviše zaslužan za većinu Hilbertovih istraživanja u fizici do 1912, uključujući njihov zajednički seminar 1905 godine.
 
Tri godine nakon što je umro Minkowski, Hilbert se skoro potpuno posvetio fizici. Počinje istraživati teoriju kinetike plinova, a poslije se prebacuje na istraživanje osnova radijacije i molekularne teorije tvari. Čak i u vrijeme rata prisustvuje predavanjima Alberta Einsteina i drugih fizičara.
 
Hilbert 1915. godine poziva Einsteina u Göttingen kako bi održao tjedan dana predavanja o svojoj teoriji relativnosti i teoriji gravitacije. Razmjenom ideja došli su do krajnjeg oblika jednadžbi polja od teorije relativnosti, kasnije nazvane Einsteinova jednadžba polja i Einstein-Hilbertov postupak. Einstein i Hilbert međusobno su se prepirali o tome tko je prvi otkrio jednadžbe polja, ali nikad o tome nisu pokrenuli javnu raspravu.
 
Nadalje, njegov rad je omogućio napredak u matematičkoj formulaciji kvantne mehanike. Hermann Weylovo i John von Neumannovo promatranje Hilbertovog rada bilo je ključno za njihov rad na matematičkoj ekvivalenciji Heisenbergove matrične mehanike i Schrödingerove valne jednadžbe, gdje Hilbertov prostor odigrava važnu ulogu u kvantnoj teoriji. Godine 1926 von Neuman je pokazao da ako na atomska stanja gledamo kao na vektore u Hilbertovom prostoru, tada će oni odgovarati Schrödingerovoj teoriji valnih funkcija i Heisenbergovim matricama.