Inačica od 1. kolovoza 2009. u 23:17 uredi Loveless (razgovor \| doprinosi) 15.766 edits m robot Dodaje: bs:Vektorsko polje ← Starija izmjena		Inačica od 1. listopada 2009. u 21:38 uredi ukloni ovu izmjenu Deternamor (razgovor \| doprinosi) 155 edits →‎Formalna definicija Novija izmjena →
Redak 5: ==Formalna definicija== Neka je <math>D\subseteq\mathbb{R}^n</math> i neka <math>X_0</math> označava skup svih radij-vektora u koordinatnom sustavu <math>\left(O,x_1,x_2,x_3,...,x_k\right); k = \dim D</math>, tj. Za podskup ''S'' [[vektorski prostor\|vektorskog prostora]] '''R'''<sup>''n''</sup>, '''vektorsko polje''' je dano [[funkcija\|funkcijom]] <math> V_x: S \to \mathbf{R}^n</math> u standardnim Euklidskim koordinatama (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>). Ako postoji neki drugi koordinatni sustav ''y'' na ''S'', tada je <math>V_y := \frac{\partial y}{\partial x} V_x</math> opis istog vektorskog prostora u koordinatama ''y''. Općenito, vektorsko polje nije samo kolekcija [[skalarno polje\|skalarnih polja]] :<math>X_0=\{\overrightarrow{OM}\| M=(x_1,x_2,x_3,...,x_k)\in\mathbb{R}^n \}</math>. Kažemo da je '''[[funkcija]] skalarne varijable''' (kraće: '''vektorska funkcija''' ili '''vektorsko polje''') svaka funkcija :<math> \overrightarrow{\textbf{W}}:D\mapsto X_0.</math> Drugim riječima, vektorsko polje je prostorna funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje [[vektor]]. ==Transformacije sustava== Neka je <math>S\subseteq\mathbb{R}^n</math> i <math>V_x:S\mapsto\mathbb{R}^n</math> vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ukoliko je <math>Y</math> neki drugi koordinatni sustav na ''S'', tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu <math>Y</math>: :<math>V_Y:=\frac{\partial y}{\partial x}V_x.</math> ==Napomene== Za ''V'' se kaže da je C<sup>''k''</sup> vektorsko polje, ako je ono ''k'' puta diferencijabilno. Jako je važno razlikovati '''vektorsko''' i '''skalarno''' polje! Što vrijedi za vektore i [[skalar\|skalare]], isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u ''koordinatnim transformacijama'': skalar sam po sebi ''jest'' koordinata, dok je vektor ''opisan'' koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje ''koordinate'', a vektorsko vektore. ==Primjene== Vektorska polja se najviše primjenjuju u [[fizika\|fizici]], npr. * [[brzina\|Brzinu]] vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje u <math>\mathbb{R}^7</math> (!), gdje je svaka točka opisana sa sedam koordinata: <math>\left(v_x,v_y,v_z,t,x,y,z\right)</math> (polje je zavisno o vremenu!). * Brzina protjecanja [[fluid\|fluida]] kroz cijev. * Opis magnetskog djelovanja. * Opis električnog djelovanja. * [[Gravitacija]]. ==Podjela== Prema [[divergencija\|divergenciji]] i [[rotacija\|rotaciji]], vektorska polja dijelimo na: * Potencijalno ili bezvrtložno: :<math>\mbox{rot}\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}</math> :<math>\mbox{div}\overrightarrow{W}\neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)};</math> * Solenoidno ili bezizvorno: :<math>\mbox{rot}\overrightarrow{W}\neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}</math> :<math>\mbox{div}\overrightarrow{W} = 0 \mbox{ (svuda)};</math> * Laplaceovo: :<math>\mbox{rot}\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}</math> :<math>\mbox{div}\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)};</math> * Polje općeg oblika ili složeno polje: :<math>\mbox{rot}\overrightarrow{W} \neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}</math> :<math>\mbox{div}\overrightarrow{W} \neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}.</math> ==Povezani pojmovi== * [[Divergencija]] * [[Rotacija]] * [[Tok]] ==Vanjske Poveznice== * [http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node20.html Skalarna i vektorska polja. Gradijent.] * [http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node7.html Skalarna i vektorska polja.] * [http://mathworld.wolfram.com/VectorField.html Wolfram: Vector Fields] * [http://www.falstad.com/vector/ 2D Vector Field Simulation] * [http://www.falstad.com/vector3d/ 3D Vector Field Simulation] ==Primjeri==

Vektorsko polje: razlika između inačica