Eksponencijalna funkcija: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nova stranica: thumb|180px|right|Eksponencijalna funkcija <math>y = e^x</math> U matematici eksponencijalna funkcija je funkcija ''y'' = ''e''<sup>''x''</sup> gdje je... |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 1:
[[file:exp.svg|thumb|180px|right|Eksponencijalna funkcija <math>y = e^x</math>]]
U [[matematika|matematici]] eksponencijalna funkcija je funkcija ''y'' = ''e''<sup>''x''</sup> gdje je [[broj e]] prirodna konstanta i baza prirodnih logritama.
Funkcija ''y'' = ''e''<sup>''x''</sup> je definirana unutar cijelog skupa [[realni broj|realnih brojeva]], monotono je rastuća porastom nezavisne varijable ''x'', gdje se brzina rasta povećava kako raste ''x''.
Graf funkcije (slika desno) leži iznad ''x''-osi, ali joj se asimptotski približava kako ''x'' teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. [[Inverzna funkcija]] eksponencijalne funkcije je funkcija [[logaritam|prirodnog logaritma]] ''y'' = ln(''x'') te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.
Redak 45:
==Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom==
[[Image:Expo02.svg|thumb|315px|Graf funkcije ''y''=''a''<sup>''x''</sup> za različite baze ''a'':
baza10 (<span style="color:green">zeleno</span>), baza ''e'' (<span style="color:red">crveno</span>), baza 2 (<span style="color:blue">plavo</span>) i baza ½ (<span style="color:cyan">cijan</span>). Svaka krivulja prolazi točkom (0,1), a za ''x''=1 vrijednost ''y'' funkcije upravo je jednaka bazi.]]
Katkada se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika
Redak 69:
vrijedi i u kompleksnoj ravnini.
Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva
: <math>\,\!\, e^{z + w} = e^z e^w</math>
Redak 84:
: <math>\,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y.</math>
gdje su ''a'' i ''b'' realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s [[trigonometrijske funkcije|trigonometrijskim funkcijama]] i dalje s [[hiperboličke funkcije|hiperboličkim funkcijama]]. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika ''a''<sup>''b''</sup>, gdje su i ''a'' i ''b'' [[kompleksni broj|kompleksne veličine]].
Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(''z''), gdje možemo definirati općenitije da je
| |||
