Kugla: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
m robot Dodaje: ko:공 (수학) |
stranica je nadopunjena novim sadržajima i formirana u skladu s ostalim stranicama wikipedije |
||
Redak 1:
'''Kugla''' je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od središta ''
[[Datoteka:Ball.agr.jpg|mini|Kugla]]
Izraz za obujam kugle izveo je još Arhimed koji je pokazao da je volume kugle jednak 2/3 volumena kugli opisanog valjka, a sukladno kasnije formuliranom Cavalierievom pravilu. U suvremenoj matematici izraz za obujam kugle se izvodi posredstvom integralnog računa.
▲'''Kugla''' je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od središta ''O'' manja ili jednaka [[polumjer]]u ''R''. Omeđena je [[Sfera|sferom]] polumjera ''R'', tj. skupom [[točka (geometrija)|točaka]] prostora čija je udaljenost od središta jednaka ''R''. Među svim tijelima danog [[volumen|obujma]] kugla ima najmanje [[oplošje]].
Postavimo kuglu polumjera R u središte x,y,z koordinatnog sustava tako da os x bude smještena vodoravno, a os y okomito. Tako postavljenu kuglu možemo podijeliti na vrlo velik broj diskova koji će stajati paralelno u odnosu na ravninu koju određuju osi y i z. Polumjer svakog diska određen je koordinatom y, gdje će y poprimati vrijednosti od y=0 do y=R i natrag do y=0. Obujam svakog diska jednak je približno umnošku površine diska i debljine diska:
▲Obujam:
:<math> \mathit{V}=\frac{4}{3}\mathit{R}^3\pi</math>▼
:<math>\!\bigtriangleup V \approx \pi y^2 \cdot \bigtriangleup x</math>
Oplošje: ▼
:<math> \mathit{O}=4\mathit{R}^2\pi \,\!</math>▼
za neki dati ''x''. Kako raste broj podjela tako
Jednadžba kugle polumjera ''R'' sa središtem u točki ''S(a,b,c):''▼
:<math> \mathit{(x-a)}^2+\mathit{(y-b)}^2+\mathit{(z-c)}^2\mathit{ \le R}</math>▼
:<math> \bigtriangleup x\longrightarrow 0 </math>
[[Datoteka:kugl_isjecak.png|thumb]]▼
i možemo provesti sve točniju sumaciju svih diskova kugle te je:
:<math>\!V \approx \sum \pi y^2 \cdot \bigtriangleup x</math>
Kako broj diskova teži u beskonačnost tako i debljina diskova teži k nuli. U tom procesu je očito na kraju debljina svakog diska beskonačno mala te možemo provesti integraciju:
:<math>\!V = \int_{x=-R}^{x=R} \pi y^2 dx.</math>
Iz presjeka kugle duž ravnine x/y slijedi da je:
:<math>\!R^2 = x^2 + y^2.</math>
te se integral može prikazati in a ovaj način:
:<math>\!V = \int_{x=-R}^{x=R} \pi (R^2 - x^2)dx.</math>
odakle redom slijedi:
:<math>\!V = \pi \left[R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=-R}^{x=R} </math>
:<math>\!V = \pi \left(R^3 + R^3 - \frac{r^3}{3}- \frac{r^3}{3} \right) </math>
te je konačno obujam kugle:
▲:<math> \mathit{V}= \frac{4}{3}\mathit{R}^3\pi</math>
Podijelimo li kuglu na velik broj koncentričnih sferastih ljuski površine O i debljine:
:<math> \bigtriangleup x</math>
te pustimo li da:
:<math> \bigtriangleup x\longrightarrow 0 </math>
možemo provesti integraciju:
:<math>\! \int_{x=0}^{r=R} O(r) dr</math>
gdje je rezultat integracije obujam kugle, odnosno:
:<math> \int_{x=0}^{x=R} O(x) dx=\!V = \frac{4}{3}\mathit{R}^3\pi </math>.
Diferencirajući ovu jednadžbu nalazimo da je za r=R:
:<math>O(R) = \frac{4}{3}3\mathit{R}^2\pi </math>
odakle slijedi da je oplošje kugle jednako:
▲[[Datoteka:kugl_isjecak.png|thumb|Kuglin isječak]]
Općenita '''jednadžba''' kugle sa središtem u točki S(a, b, c) određena je jednakosti:
▲:<math> \mathit{(x-a)}^2+\mathit{(y-b)}^2+\mathit{(z-c)}^2\mathit{ \le R}</math>
===Volumen kuglina isječka===
'''Kuglin isječak''' je geometrijsko tijelo nastalo rotacijom kružnog isječka oko osi rotacije (dijametra).
Volumen kuglinog isječka za polumjer kugle R je:
:<math>V=\pi\cdot h^2\cdot(R-h/3)</math>
===Volumen kuglina odsječka===
[[Datoteka:kugl_odsjecak.png|thumb|Kuglin odsječak]]
'''Kuglin odsječak''' (kalota) je geometrijsko tijelo tj. dio kugle nastao presjecanjem kugle i ravnine.
Površina kuglinog odsječka (kalote) za polumjer kugle R i visine kalote h je:
:<math>P=2\cdot\ R\cdot\pi\cdot h </math>
Volumen kuglinog odsječka, ako je kugla polumjera R i visine odsječka h :
:<math>V=\frac{\pi\cdot h^2}{3} \cdot (3R - h)</math>
| |||