|
<math> \left \lbrack \frac{a}{b}\right \rbrack</math>
Jednadžba kod koje se nepoznata veličina nalazi na mjestu eksponenta neke potencije zove se '''eksponencijalna jednadžba'''. ▼<math> \left \langle \frac{a}{b}\right \rangle</math>
▲JednadžbaNejednadžba kod koje se nepoznata veličina nalazi na mjestu eksponenta neke potencije zove se '''eksponencijalna jednadžbanejednadžba'''.
==Područje definicije==
Eksponencijalna jednadžbanejednadžba je definirana za sve vrijednosti nepoznate veličine ''x'' iz domene [[realni broj|realnih brojeva]].
==Jednostavna eksponencijalna jednadžbanejednadžba==
Jednostavnijom eksponencijalnom jednadžbomnejednadžbom možemo smatrati eksponencijalnu jednadžbunejednadžbu koja sadržava jedan član s nepoznatom veličinom u eksponentu eksponencijalne funkcijepotencije:
:<math> 3^{2(x+1)} =81>729. \, </math>
Uvažavajući pravila o računanju s potencijama, uređivanjem obje strane jednadžbe nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
3^{2(x+1)} & => 3^46 \\
2(x+1) & => 46 \\
2x+2 & => 46 \\
x2x & => 14 \\
\end{align}
</math>
Rješenje ove eksponencijalne nejednadžbe bit će svaki x iz intervala <math> \left \langle 2, +\infty \right \rangle</math>
==Složenije eksponencijalne jednadžbenejednadžbe==
Složenije eksponencijalne jednadžbenejednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi u eksponentu neke potencije, a gdje se jednadžbanejednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka jednadžbanejednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.
===Primjer 1===
Zadana je eksponencijalna jednadžbanejednadžba:
:<math> 4^{(x^2-x3x+12)} =8<16^{(x-1)}. </math>
Slijedom pravila koja vrijede u računanju s potencijama, rješavajući nejednadžbu nalazimo, redom:
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom: ▼: <math>
\begin{align}
2^{2(x^2-x3x+12)} & =< 2^{3x4(x-1)} \\
2(x2x^2-x6x+1)4& =< 4x-4 3x \\
2x^2-2x10x+28& =< 3x0 /:2 \\
2xx^2-5x+24& =< 0 \\
\end{align}
</math>
Rješavajući nađenu [[kvadratna jednadžbanejednadžba|kvadratnu jednadžbunejednadžbu]] nalazimo da je rješenje kvadratne nejednadžbe svaki x iz intervala <submath> \left \langle 1</sub>=2, i4 x<sub>2\right \rangle</submath>=1/2, gdje obaje rješenjaisti udovoljavajuinterval uvjetimai kojeskup postavljarješenja početnazadane eksponencijalnaeksponencijalne jednadžbajednadžbe.
===Primjer 2===
Zadana je eksponencijalna jednadžbanejednadžba oblika:
:<math> 3\cdot4^x + 2 \cdot9^x > 5\cdot 6^x </math>
:<math> {\bigg(\frac{3}{7}\bigg)}^{3x-7}- {\bigg(\frac{7}{3}\bigg)}^{7x-3} = 0 </math> ▼▲Rješavajući jednadžbunejednadžbu nalazimo, redom:
U sukladnosti s pravilima za računanje s potencijama nalazimo, redom:
:<math>
\begin{align}
3\cdot 2^{2x} + 2 \cdot3^{2x} & => 5\cdot 2^x3^x /:(2^x 3^x) \\ ▼{\bigg(\frac{3}{7}\bigg)}^{3x-7}& = {\bigg(\frac{7}{3}\bigg)}^{7x-3} \\
{\bigg(3\frac{32^x}{7}\bigg)}3^{3x-7x}& =+2 {\bigg(\frac{3^x}{7}\bigg)}2^{-7x+3x } & > 5 \\
▲:<math> 3{\bigg(\frac{ 32}{ 73}\bigg)}^ {3x-7}-x +2{\bigg(\frac{ 73}{ 32}\bigg)}^ x & >5 /supstitucija:{\bigg(\frac{2}{ 7x-3} \bigg)}^x= y 0 </math>\\
3x-7& = -7x+3 \\
3y +2 \frac{1}{y }-5& => 0 / \cdot ( y ) \\ ▼x&=1
\end{align}
</math>
Rješavajući nađenu kvadratnu nejednadžbu po ''y'' nalazimo da je skup rješenja kvadratne nejednadžbe svaki ''y'' iz intervala
<math> \left \langle\frac{2}{3} , 1 \right \rangle</math>
Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po y nalazimo da je y<sub>1</sub>=1 i y<sub>2</sub>=4/6. Uzevši u obzir supstituciju gdje je (2/3)<sup>x</sup> = y, dolazimo i do konačnog rješenja početne eksponencijalne jednadžbenejednadžbe gdje je rješenje svaki x iz intervala < submath> \left \langle 1 </sub>=0, a0 x<sub>2\right \rangle</ submath> =1. ▼
===Primjer 3===
Zadana je eksponencijalna jednadžbanejednadžba oblika:
:<math> 3\cdot427^{(x^2-3x-3)} + 2- {\cdot9bigg(\frac{1}{27}\bigg)}^x > =0 5\cdot 6^x </math>
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
\begin{align}
▲3\cdot 2^{2x} + 2 \cdot3^{2x} & = 5\cdot 2^x3^x /:(2^x 3^x) \\
3\frac{2^x}{3^x} +2 \frac{3^x}{2^x } & = 5 \\
3{\bigg(\frac{2}{3}\bigg)}^x +2{\bigg(\frac{3}{2}\bigg)}^x & =5 /supstitucija:{\bigg(\frac{2}{3}\bigg)}^x=y \\
▲3y +2 \frac{1}{y }-5& = 0 / \cdot(y) \\
\end{align}
</math>
▲Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po y nalazimo da je y<sub>1</sub>=1 i y<sub>2</sub>=4/6. Uzevši u obzir supstituciju gdje je (2/3)<sup>x</sup> = y, dolazimo i do konačnog rješenja početne eksponencijalne jednadžbe gdje je x<sub>1</sub>=0, a x<sub>2</sub>=1.
===Primjer 4===
Zadana je eksponencijalna jednadžba oblika:
:<math> 27^{(x^2-3x-3)} - {\bigg(\frac{1}{27}\bigg)}^x = 0 </math>
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
:<math>
\begin{align}
{3}^{3(x^2-3x-3)} & => 3^{-3x} \\
3(x^2-3x-3)& => -3x \\
3x^2 -9x -9 & => -3x \\
3x^2-6x-9& => 0 /:(3) \\
x^2-2x-3& => 0 / \\
\end{align}
</math>
gdje rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbunejednadžbu nalazimo ida je rješenja zadanekvadratne eksponencijalnenejednadžbe jednadžbesvaki x<sub>1</sub>=3 te x<sub>2</sub>=-1, gdje oba rješenja zadovoljavaju uvjetima početne eksponencijalneiz jednadžbe.intervala
<math> \left \langle -1, 3\right \rangle</math>, što je ujedno i skup rješenja zadane eksponencijalne nejednadžbe.
???????????????????????
| 