Razlika između inačica stranice »Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4«

bez sažetka
Logaritamska [[jednadžba]] je jednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar [[logaritam|logaritma]] ili čini bazu logaritma.
<math> \left \lbrack \frac{a}{b}\right \rbrack</math>
<math> \left \langle \frac{a}{b}\right \rangle</math>
 
 
Nejednadžba kod koje se nepoznata veličina nalazi na mjestu eksponenta neke potencije zove se '''eksponencijalna nejednadžba'''.
 
==Područje definicije==
Logaritamska jednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni realnih brojeva nije definiran logaritam od negativnog broja).
Eksponencijalna nejednadžba je definirana za sve vrijednosti nepoznate veličine ''x'' iz domene [[realni broj|realnih brojeva]].
 
==Jednostavna eksponencijalnalogaritamska nejednadžbajednadžba==
Jednostavnijom eksponencijalnomlogaritamskom nejednadžbomjednadžbom možemo smatrati eksponencijalnulogaritamsku nejednadžbujednadžbu kojagdje sadržavase jedannepoznata članveličina spojavljuje nepoznatomunutar veličinomjednog uizraza eksponentulogaritma potencije,ili se pojavljuje kao nabaza primjer:logaritma.
===Primjer 1===
:<math> 3^{2(x+1)} >729. \, </math>
Zadana je logaritamska jednadžba:
Uvažavajući pravila o računanju s potencijama nalazimo, redom:
:<math>log \frac{2x}{x-4} = 1\, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
3^\frac{2x}{2(x+1)-4} & >= 10 3^6 \\
2(x+1)2x & >= 10(x-4) 6 \\
2x+2 & >= 10x-40 6 \\
2x -8x& >=-40 / : (-8) 4 \\
x & > 2 = \\5
\end{align}
</math>
===Primjer 2===
Rješenje ove eksponencijalne nejednadžbe bit će svaki x iz intervala <math> \left \langle 2, +\infty \right \rangle</math>
Zadana je logaritamska jednadžba:
 
<math> log_{x-2}1000=3 \,</math>
==Složenije eksponencijalne nejednadžbe==
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
Složenije eksponencijalne nejednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi u eksponentu neke potencije, a gdje se nejednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka nejednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak.
: <math>
\begin{align}
(x-2) ^3& = 1000 \\
(x-2) ^3& = 10^3 \\
x-2& = 10 \\
x& = 12 \\
\end{align}
</math>
===Primjer 3===
Zadana je logaritamska jednadžba:
:<math> log_5 |2x-3| = 3 \, </math>
odakle slijedi da je:
:<math> |2x-3| = 5^3 \, </math> odn.
:<math> |2x-3| = 125. \, </math>
Rješavajući ovu jednadžbu s apsolutnom vrijednosti, lako je naći da postoje dva moguća rješenja početne logaritamske jednadžbe: ''x<sub>1</sub>'' = 64 te ''x<sub>2</sub>'' -61.
 
==Složenija logaritamska jednadžba==
Složenije logaritamske jednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska jednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka jednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.
===Primjer 1===
Zadana je eksponencijalnalogaritamska nejednadžbajednadžba:
:<math> 4log^{(x^22x -3x+2)} <16logx^{(x2 -1)}. 8 =0 \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
Slijedom pravila koja vrijede u računanju s potencijama, rješavajući nejednadžbu nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
log^2x - 2logx - 8& = 0 /supstitucija: logx=y \\
2^{2(x^2-3x+2)} & < 2^{4(x-1)} \\
2xy^2-6x+42y-8& <= 4x-4 0 \\
2x^2-10x+8& < 0 /:2 \\
x^2-5x+4& < 0 \\
\end{align}
</math>
Rješavajući nađenu [[kvadratna nejednadžbajednadžba|kvadratnu nejednadžbujednadžbu]] nalazimopo da''y'' jekao rješenje kvadratne nejednadžbe svaki x iz intervalajednadžbe nalazimo ''y<mathsub> \left \langle 1,</sub>'' = 4 \rightte \rangle''y<sub>2</mathsub>,'' gdje= je-2. istiSukladno intervalsupstituciji i''logx=y'', skupslijede i rješenja početno zadane eksponencijalnelogaritamske jednadžbe: ''x<sub>1</sub>'' = 10.000 te ''x<sub>2</sub>'' = 0,01.
 
===Primjer 2===
:<math> log_2(x^2+4) = 2 + log_2x \, </math>
Zadana je eksponencijalna nejednadžba oblika:
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
:<math> 3\cdot4^x + 2 \cdot9^x > 5\cdot 6^x </math>
Rješavajući nejednadžbu nalazimo, redom:
 
: <math>
\begin{align}
2^(2+log_2x)& = x^2+4 \\
3\cdot 2^{2x} + 2 \cdot3^{2x} & > 5\cdot 2^x3^x /:(2^x 3^x) \\
34\frac{2cdot2^x}{3^xlog_2x}& +2= \frac{3x^x}{2^x+4 } & > 5 \\
4x& = x^2+4 \\
3{\bigg(\frac{2}{3}\bigg)}^x +2{\bigg(\frac{3}{2}\bigg)}^x & >5 /supstitucija:{\bigg(\frac{2}{3}\bigg)}^x=y \\
3y +-x^2+4x-4 \frac{1}{y }-5& >= 0 / \cdot(-1) y \\
3yx^2 -5y 4x+24 & > = 0 \\
\end{align}
</math>
Rješavajući nađenu kvadratnu nejednadžbujednadžbu po ''y''x kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo dax<sub>1</sub> je= skup rješenjax<sub>2</sub> kvadratne2, nejednadžbea svakišto su ujedno i rješenja ''y''početne izlogaritamske intervalajednadžbe.
===Primjer 3===
<math> \left \langle\frac{2}{3} , 1 \right \rangle</math>.
Zadana je logaritamska jednadžba:
Uzevši u obzir supstituciju gdje je (2/3)<sup>x</sup> = y, dolazimo i do konačnog rješenja početne eksponencijalne nejednadžbe gdje je rješenje svaki x iz intervala <math> \left \langle 1, 0 \right \rangle</math>.
:<math> 3log_2x-2log_x2=1 \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
3log_2x -2 \frac{log_22}{log_2x} & = 1 \\
3log_2x -2 \frac{l}{log_2x} & = 1 / \cdot(log_2x ) \\
3log_2^2-log_2x-2x & = 0 /supstitucija: log_2x=y \\
3y^2-y-2& = 0 \\
\end{align}
</math>
Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po y kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo y<sub>1</sub> = 1 te y<sub>2</sub> -2/3. Sukladno supstituciji log<sub>2</sub> x=y, slijede i rješenja početno zadane logaritamske jednadžbe: x<sub>1</sub> = 2 te x<sub>2</sub> =2<sup>(-3/2)>/sup>.
===Primjer 4===
Zadana je logaritamska jednadžba:
:<math> log(logx)+log(logx^3-2)=0 \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
logx(logx^3-2) & = 1 \\
logx(3logx-2) & = 1 \\
3log^2x-2log2-1& = 0
\end{align}
</math>
Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po logx kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo logx<sub>1</sub> = 1 te log x<sub>2</sub> -1/3. Kako je jedan od članova početne logaritamske jednadžbe izražen kao log(logx), drugo rješenje očito nema smisla prema definiciji logaritma, tako da ima smisla samo prvo rješenje logx<sub>1</sub> = 1, odakle slijedi da je x<sub>1</sub> = 10 i jedino rješenje početne logaritamske jednadžbe.
Logaritamska nejednadžba je nejednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar logaritma ili čini bazu logaritma.
 
==Područje definicije==
Logaritamska nejednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni realnih brojeva nije definiran logaritam od negativnog broja).
==Jednostavna logaritamska nejednadžba==
Jednostavnijom logaritamskom nejednadžbom možemo smatrati logaritamsku nejednadžbu gdje se nepoznata veličina pojavljuje unutar jednog izraza logaritma ili se pojavljuje kao baza logaritma.
===Primjer 1===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
<math> log_3(x+2)<2 \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
x+2& < 3^2 \\
x+2& <9 \\
x& <7
\end{align}
</math>
Rješenje logaritamske nejednadžbe je u smislu definicije logaritma svaki x iz intervala<math> \left \langle -2, 7 \right \rangle</math>.
===Primjer 2===
Zadane je logaritamska nejednadžba:
<math>log_2 |x-2|>4 \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
: <math>|x-2|& > 16 </math>
Rješavajući nejednadžbu s apsolutnom vrijednosti nalazimo kao rješenje nejednadžbe da x treba biti x>18, ili x<-14, što znači da je rješenje logaritamske nejednadžbe svaki x iz intervala
<math> \left \langle -\infty, -14\right \rangle</math> i <math> \left \langle 18, +\infty \right \rangle</math>.
===Primjer 3===
Zadana je eksponencijalnalogaritamska nejednadžba oblika:
:<math> 27^{ -2<log_3(x^2-3x-3)} - {\bigg(\frac{1}{27}\bigg)}^x > 0 <2 </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
:<math> 3^{-2} <(x-1)<3^2 </math>
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
:<math> \frac{1}{9} <(x-1)<9 </math>
:<math>
:<math> \frac{10}{9} <x<10 </math>
Rješenje logaritamske nejednadžbe bit će svaki x iz interval <math> \left \langle 10/9, 10 \right \rangle</math>.
==Složenija logaritamska nejednadžba==
Složenije logaritamske nejednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska nejednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka nejednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.
===Primjer 1===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
:<math> log(3x^2-5x-3)>log(4x-3) </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
: <math>
\begin{align}
3x^2-5x-3& >4x-3 \\
3x^2-9x& > 0 /:3 \\
x^2-3& >0 \\
x(x-3)& >0
\end{align}
</math>
Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je, očito, svaki x iz intervala
<math> \left \langle 3, +\infty \right \rangle</math>. Drugo rješenje nejednadžbe (x<0) prema definiciji logaritma ne može biti rješenje zadane logaritamske nejednadžbe.
===Primjer 2===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
:<math> log \sqrt{x^2+2x-3}>logx </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
: <math>
\begin{align}
> log \sqrt{x^2+2x-3}-logx & >0 \\
\frac{\sqrt{x^2+2x-3}{x} & >1 \\
\sqrt{x^2+2x-3}& >x / ^{(2)} \\
x^2+2x-3& > x^2 \\
2x& >3 \\
x& > \frac{3}{2}
\end{align}
</math>
Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je, zato, svaki x iz intervala
<math> \left \langle \frac{3}{2}, +\infty \right \rangle</math>.
===Primjer 3===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
:<math> log_9log_2log_3(x-1)> \frac{1}{2} </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
: <math>
\begin{align}
log_2log_3(x-1)& >3 \\
log_3(x-1)& >8 \\
x-1& >3^8 \\
x-1& >6561 \\
x& >6562
\end{align}
</math>
Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je svaki x iz intervala
<math> \left \langle 6562, +\infty \right \rangle</math>.
===Primjer 4===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
:<math> \frac{3logx}{logx+1} > \frac{-3}{logx+1} </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
: <math>
\begin{align}
\frac{33logx}^{3(x^2-3x-3)logx+1}-logx & > 3^\frac{-3x3}{logx+1} / \cdot (logx+1) \\
3(x3logx-log^22x-3x-3)logx& >-3 -3x \\
3x-log^22x -9x+2logx+3& -9>0 & >/ \cdot(-3x 1) \\
3xlog^22x -6x2logx-93& > <0 /:3 \\
& =
x^2-2x-3& > 0 \\
\end{align}
</math>
gdje rješavajući nađenuRješavajući kvadratnu nejednadžbu po logx, nalazimo da je rješenjauvjet kvadratnenejednadžbe ispunjen za logx<3, odn. za logx>-1, što znači da će rješenje logaritamske nejednadžbe biti svaki x iz intervala <math> \left \langle \frac{1}{10}, 1.000 \right \rangle</math>.
<math> \left \langle -\infty, -1\right \rangle</math> i
<math> \left \langle 3, + \infty \right \rangle</math>,
što je ujedno i skup rješenja zadane eksponencijalne nejednadžbe.