|
Logaritamska [[jednadžbanejednadžba]] je jednadžbanejednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar [[logaritam|logaritma]] ili čini bazu logaritma.
==Područje definicije==
Logaritamska jednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni [[realni broj|realnih brojeva]] nije definiran logaritam od negativnog broja).
==Jednostavna logaritamska jednadžba==
Jednostavnijom logaritamskom jednadžbom možemo smatrati logaritamsku jednadžbu gdje se nepoznata veličina pojavljuje unutar jednog izraza logaritma ili se pojavljuje kao baza logaritma.
===Primjer 1===
Zadana je logaritamska jednadžba:
:<math>log \frac{2x}{x-4} = 1\, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
\frac{2x}{x-4} & = 10 \\
2x & = 10(x-4) \\
2x& = 10x-40 \\
-8x& =-40 / : (-8) \\
x& = 5
\end{align}
</math>
===Primjer 2===
Zadana je logaritamska jednadžba:
<math> log_{x-2}1000=3 \,</math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
(x-2) ^3& = 1000 \\
(x-2) ^3& = 10^3 \\
x-2& = 10 \\
x& = 12 \\
\end{align}
</math>
===Primjer 3===
Zadana je logaritamska jednadžba:
:<math> log_5 |2x-3| = 3 \, </math>
odakle slijedi da je:
:<math> |2x-3| = 5^3 \, </math> odn.
:<math> |2x-3| = 125. \, </math>
Rješavajući ovu jednadžbu s apsolutnom vrijednosti, lako je naći da postoje dva moguća rješenja početne logaritamske jednadžbe: ''x<sub>1</sub>'' = 64 te ''x<sub>2</sub>'' -61.
==Složenija logaritamska jednadžba==
Složenije logaritamske jednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska jednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka jednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.
===Primjer 1===
Zadana je logaritamska jednadžba:
:<math> log^2x - logx^2 - 8 =0 \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
log^2x - 2logx - 8& = 0 /supstitucija: logx=y \\
y^2-2y-8& = 0
\end{align}
</math>
Rješavajući nađenu [[kvadratna jednadžba|kvadratnu jednadžbu]] po ''y'' kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo ''y<sub>1</sub>'' = 4 te ''y<sub>2</sub>'' = -2. Sukladno supstituciji ''logx=y'', slijede i rješenja početno zadane logaritamske jednadžbe: ''x<sub>1</sub>'' = 10.000 te ''x<sub>2</sub>'' = 0,01.
===Primjer 2===
:<math> log_2(x^2+4) = 2 + log_2x \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
2^{(2+log_2x)}& = x^2+4 \\
4\cdot2^{log_2x}& = x^2+4 \\
4x& = x^2+4 \\
-x^2+4x-4 & = 0 / \cdot(-1) \\
x^2-4x+4 & = 0
\end{align}
</math>
Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po ''x'' kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo ''x<sub>1</sub>'' = ''x<sub>2</sub>'' = 2, a što je ujedno i rješenje početne logaritamske jednadžbe.
===Primjer 3===
Zadana je logaritamska jednadžba:
:<math> 3log_2x-2log_x2=1 \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
3log_2x -2 \frac{log_22}{log_2x} & = 1 \\
3log_2x -2 \frac{1}{log_2x} & = 1 / \cdot(log_2x ) \\
3log_2^2x-log_2x-2 & = 0 /supstitucija: log_2x=y \\
3y^2-y-2& = 0 \\
\end{align}
</math>
Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po ''y'' kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo ''y<sub>1</sub>'' = 1 te ''y<sub>2</sub>'' = -2/3. Sukladno supstituciji ''log<sub>2</sub>x=y'', slijede i rješenja početno zadane logaritamske jednadžbe: ''x<sub>1</sub>'' = 2 te ''x<sub>2</sub>'' = 2<sup>(-2/3)</sup>.
===Primjer 4===
Zadana je logaritamska jednadžba:
:<math> log(logx)+log(logx^3-2)=0 \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
logx(logx^3-2) & = 1 \\
logx(3logx-2) & = 1 \\
3log^2x-2logx-1& = 0
\end{align}
</math>
Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po ''logx'' kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo ''logx<sub>1</sub>'' = 1 te ''log x<sub>2</sub>'' = -1/3. Kako je jedan od članova početne logaritamske jednadžbe izražen kao ''log(logx)'', drugo rješenje očito nema smisla prema definiciji logaritma. U tom smislu postoji samo jedno rješenje gdje je ''logx'' = 1, odakle slijedi da je ''x'' = 10 i jedino rješenje početne logaritamske jednadžbe.
Logaritamska nejednadžba je nejednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar logaritma ili čini bazu logaritma.
==Područje definicije==
Logaritamska nejednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni [[realni broj|realnih brojeva]] nije definiran logaritam od negativnog broja).
==Jednostavna logaritamska nejednadžba==
Jednostavnijom logaritamskom nejednadžbom možemo smatrati logaritamsku nejednadžbu gdje se nepoznata veličina pojavljuje unutar jednog izraza logaritma ili se pojavljuje kao baza logaritma.
===Primjer 1===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
:<math> log_3(x+2)<2 \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:
: <math>
\end{align}
</math>
Rješenje logaritamske nejednadžbe je u smislu definicije logaritma svaki ''x'' iz intervala <math> \left \langle -2, 7 \right \rangle</math>.
===Primjer 2===
ZadaneZadana je logaritamska nejednadžba:
:<math>log_2 |x-2|>4 \, </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
: <math>|x-2|& > 16 \, </math>
Rješavajući [[nejednadžba s apsolutnom vrijednosti|nejednadžbu s apsolutnom vrijednosti]] nalazimo kao rješenje nejednadžbe da ''x'' treba biti ''x''>18, ili ''x''<-14, što znači da je rješenje logaritamske nejednadžbe svaki ''x'' iz intervala
<math> \left \langle -\infty, -14\right \rangle</math> i <math> \left \langle 18, +\infty \right \rangle</math>.
===Primjer 3===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
:<math> -2<log_3(x-1)<2 \,</math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
:<math> 3^{-2} <(x-1)<3^2 \,</math>
:<math> \frac{1}{9} <(x-1)<9 \,</math>
:<math> \frac{10}{9} <x<10 \,</math>
Rješenje logaritamske nejednadžbe bit će svaki x iz interval <math> \left \langle \frac{10/}{9}, 10 \right \rangle</math>.
==Složenija logaritamska nejednadžba==
Složenije logaritamske nejednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska nejednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka nejednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.
| 