Razlika između inačica stranice »Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4«

bez sažetka
'''Diofantskom jednadžbom''' nazivamo općenito neodređenu polinomnu jednadžbu koja, međutim, nalazi rješenja u domeni cijelih pozitivnih brojeva.
Logaritamska [[nejednadžba]] je nejednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar [[logaritam|logaritma]] ili čini bazu logaritma.
 
==Linearna Diofantska jednadžba==
==Područje definicije==
Linearna Diofantska jednadžba ima općeniti oblik:
Logaritamska nejednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni [[realni broj|realnih brojeva]] nije definiran logaritam od negativnog broja).
:<math> ax+by=c \frac{10}{9}, <x<10 \,</math>
==Jednostavna logaritamska nejednadžba==
gdje može postojati jedno, nekoliko ili neograničeno mnogo rješenja predstavljenih brojevima iz skupa prirodnih brojeva.
Jednostavnijom logaritamskom nejednadžbom možemo smatrati logaritamsku nejednadžbu gdje se nepoznata veličina pojavljuje unutar jednog izraza logaritma ili se pojavljuje kao baza logaritma.
===:Primjer 1===
Zadana je logaritamskaDiofantska nejednadžbajednadžba:
:<math> log_3(x11x+2)<2 8y=104.\, </math>
SukladnoRješavajući pravilima o računanju s logaritmimajednadžbu nalazimo, redom:
: <math>
\begin{align}
x+28y& <= 3^2 104-11x \\
x+2y& <9= \frac{104-11x}{8} \\
xy& <7= 13- \frac{11x}{8}
\end{align}
</math>
Razlomak jedino može biti cijeli broj za ''x''=8 te je time određeno i jedino rješenje postavljene jednadžbe: ''x''=8, ''y''=2.
Rješenje logaritamske nejednadžbe je u smislu definicije logaritma svaki ''x'' iz intervala <math> \left \langle -2, 7 \right \rangle</math>.
===:Primjer 2===
Zadana je logaritamskaDiofantska nejednadžbajednadžba:
:<math>log_2 |x-2|>43x+1=5y \, </math>
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
:<math>|x-2| > 16 \, </math>
Rješavajući [[nejednadžba s apsolutnom vrijednosti|nejednadžbu s apsolutnom vrijednosti]] nalazimo kao rješenje nejednadžbe da ''x'' treba biti ''x''>18, ili ''x''<-14, što znači da je rješenje logaritamske nejednadžbe svaki ''x'' iz intervala
<math> \left \langle -\infty, -14\right \rangle</math> i <math> \left \langle 18, +\infty \right \rangle</math>.
===Primjer 3===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
:<math> -2<log_3(x-1)<2 \,</math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
:<math> 3^{-2} <(x-1)<3^2 \,</math>
:<math> \frac{1}{9} <(x-1)<9 \,</math>
:<math> \frac{10}{9} <x<10 \,</math>
Rješenje logaritamske nejednadžbe bit će svaki x iz interval <math> \left \langle \frac{10}{9}, 10 \right \rangle</math>.
 
==Složenija logaritamska nejednadžba==
Složenije logaritamske nejednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska nejednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka nejednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.
===Primjer 1===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
:<math> log(3x^2-5x-3)>log(4x-3) \,</math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
: <math>
\begin{align}
3x^2-5x-3& >4x= 5y-31 \\
3x^2-9xx& >= \frac{5y-1}{3} 0 /:3 \\
x^2-3& >0=y+ \frac{2y-1}{3} \\
x(x-3)& >0
\end{align}
</math>
Veličine ''x'' i ''y'' bit će cijeli brojevi ukoliko je i razlomak (2y-1)/3 cijeli broj što je ispunjeno za uređene parove brojeva (''x, y'') : (3, 2), (8, 5), (13, 8),…. , gdje se može naći po volji velik broj uređenih parova brojeva koji udovoljavaju početnoj jednadžbi.
Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je, očito, svaki ''x'' iz intervala
 
<math> \left \langle 3, +\infty \right \rangle</math>. Drugo rješenje nejednadžbe (''x''<0) prema definiciji logaritma ne može biti rješenje zadane logaritamske nejednadžbe.
==Nelinearna Diofantska jednadžba==
===Primjer 2===
Nelinearnim Diofantskim jednadžbama možemo u širem smislu smatrati jednadže gdje se nepoznate veličine javljaju kao potencije ili umnožak dviju ili više nepoznatih veličina.
Zadana je logaritamska nejednadžba:
===Nelinearna Diofantska jednadžba u općenitom , jednostavnom obliku===
:<math> log \sqrt{x^2+2x-3}>logx </math>
Zadana je jednadžba:
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
:<math> xy-2<log_3(x2y=7x-1)<25 \, </math>
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
:<math>
\begin{align}
log \sqrt{y(x^-2+2x-3}-logx)& = & >07x-5 \\
logy& = \frac{\sqrt{x^2+2x7x-3}5}{x-2} & >0 \\
y& = \frac{\sqrt{x^27x-14+2x14-3}5}{x-2} & >1 \\
\sqrt{x^2+2x-3}& >x= 7 /+ ^\frac{(9}{x-2)} \\
x^2+2x-3& > x^2 \\
2x& >3 \\
x& > \frac{3}{2}
\end{align}
</math>
Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je svaki ''x'' iz intervala
<math> \left \langle \frac{3}{2}, +\infty \right \rangle</math>.
===Primjer 3===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
:<math> log_9log_2log_3(x-1)> \frac{1}{2} </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
: <math>
\begin{align}
log_2log_3(x-1)& >3 \\
log_3(x-1)& >8 \\
x-1& >3^8 \\
x-1& >6561 \\
x& >6562
\end{align}
</math>
Rješenje nejednadžbe, a time i rješenje logaritamske nejednadžbe je svaki x iz intervala
<math> \left \langle 6562, +\infty \right \rangle</math>.
===Primjer 4===
Zadana je logaritamska nejednadžba:
:<math> \frac{3logx}{logx+1}-logx > \frac{-3}{logx+1} </math>
Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo:
: <math>
\begin{align}
\frac{3logx}{logx+1}-logx & > \frac{-3}{logx+1} / \cdot (logx+1) \\
3logx-log^2x-logx& >-3 \\
-log^2x +2logx+3& >0 / \cdot(-1) \\
log^2x -2logx-3& <0 \\
& =
\end{align}
</math>
Cjelobrojna rješenja jednadžbe postoje za uređene parove brojeva (''x, y''): (3, 16), (5, 10) i (11, 8).
Rješavajući [[kvadratna nejednadžba|kvadratnu nejednadžbu]] po ''logx,'' nalazimo da je uvjet nejednadžbe ispunjen za ''logx''<3, odn. za ''logx''>-1, što znači da će rješenje logaritamske nejednadžbe biti svaki ''x'' iz intervala <math> \left \langle \frac{1}{10}, 1.000 \right \rangle</math>.
===Pitagorine trojke===
Pitagorinim trojkama nazivamo uređen skup cijelih brojeva (''x, y, z'') većih od nule koji zadovoljavaju jednadžbu:
:<math>x^n + y^n = z^n .</math>
za n=2. Radi se, očito, o cijelim brojevima koji zadovoljavaju Pitagorin poučak, dakle, o uređenim trojkama brojeva (3, 4, 5), (6, 8, 10), (12, 16, 20), …, itd., gdje se može naći po volji velik broj uređenih trojki brojeva koji udovoljavaju početnoj jednadžbi. Za prirodni broj ''n''>2 ne postoje takvi prirodni brojevi koji bi udovoljili jednadžbi, što je postavio francuski matematičar Pierre de Fermat u jednom od svojih teorema.
===Pellova jednadžba===
Jednadžbu oblika:
:<math>x^2 -n y^2 = \frac{1}{9}pm <(x-1)<9 \,</math>
nazivamo Pellova jednadžba, gdje su jednadžbe ovog oblika su razmatrali još indijski i starogrčki matematičari. Za svaki prirodan broj ''n'', gdje ''n'' nije kvadrat prirodnog broja, mogu se naći prirodni brojevi ''x'' i ''y'' koji zadovoljavaju iskazanu jednadžbu. Za Pellovu jednadžbu:
:<math> 3x^{-2} <(x-1)<3 7y^2 = 1.\, </math>
to su brojevi ''x''=8 i ''y''=3, gdje postoji praktički po volji velik broj uređenih parova i drugih brojeva kao što su to: (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151; 3096720); (130576328, 49353213); ... itd.
===Erdős–Strausova hipoteza===
Hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve n ≥ 2 postoji racionalni broj 4/n koji se može iskazati kao zbroj tri jedinična razlomka s pozitivnim, cjelobrojnim nazivnicima kako slijedi:
:<math> \frac{3logx4}{logx+n} = \frac{1}-logx{x} + > \frac{-31}{logxy} +\frac{1}{z}. \, </math>
Na primjer, za ''n'' = 1801, postoji rješenje jednadžbe gdje je ''x'' = 451, ''y'' = 295364 i ''z'' = 3249004.
Pomnožimo li obje strane jednadžbe s ''nxyz'', nalazimo Diofantsku jednadžbu oblika:
:<math> log4xyz=n(3x^2-5x-3xy+xz+yz)>log(4x-3) .\, </math>