Razlika između inačica stranice »Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4«

bez sažetka
'''Funkcijska jednadžba''' je vrsta jednadžbi gdje se ne traži neka nepoznata veličina, na primjer ''x'', već se traži nepoznata funkcija koja udovoljava nekom traženom uvjetu. Ova vrsta jednadžbi ne može se jednostavno svesti i riješiti kao algebarska jednadžba.
'''Bikvadratna i simetrična jednadžba''' su jednadžbe viših potencija koje se u posebnim slučajevima svode na kvadratne.
 
==BikvadratnaLinearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisne varijable==
Kada su različite funkcije u linearnom odnosu, tada govorimo o linearnoj funkcijskoj jednadžbi koja može biti, na primjer, oblika:
Kod bikvadratne jednadžbe moguća je supstitucija oblika: ''x<sup>4</sup>'' = ''t<sup>2</sup>'' i ''x<sup>2</sup>'' = ''t'' ili neka slična supstitucija kojom se jednadžba svodi na kvadratnu.
:<math> t^2 y(ax)-19t-216by(x)=0. \, </math>
===Primjer 1===
Zadana je jednadžba:
==Linearna funkcijska jednadžba s dvije nezavisne varijable==
:<math> x^4-13x^2+36=0. \, </math>
Linearna funkcijska jednadžba s dvije nezavisne varijable je na primjer:
Supstitucijom: ''x<sup>4</sup>'' = ''t<sup>2</sup>'' i ''x<sup>2</sup>'' = ''t'' nalazimo novu jednadžbu:
:<math> t^2-13t+36=0, \, </math>
gdje rješavajući dobivenu [[kvadratna jednadžba|kvadratnu jednadžbu]] nalazimo i rješenja početne jednadžbe:
<math> t_1=9, t_2=4 \, </math> odn. <math> x_1=+3, x_2=-3, x_3=+2, x_4=-2 . \, </math>
===Primjer 2===
Zadana je jednadžba:
<math> x^6 -19x^3-216=0. \, </math>
Supstitucijom: ''x<sup>6</sup>'' = ''t<sup>2</sup>'' te ''x<sup>3</sup>'' = ''t'' nalazimo novu jednadžbu:
:<math> t^2 -19t-216=0. \, </math>
gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja:
<math> t_1=27, t_2=-8 \, </math> odn. rješenja početne jednadžbe: <math> x_1=+3, x_2=-2 . \, </math>
 
==Simetričnaa)Cauchyeva jednadžba==:
:<math> t^2-13tf(x+36y)=0f(x)+f(y), \, </math>
Pri rješavanju simetrične jednadžbe nalazimo odgovarajuću supstituciju kojom se simetrična jednadžba više potencije pretvara u kvadratnu jednadžbu.
čije je opće rješenje funkcija:
Zadana je jednadžba:
:<math> f(x^4+2x^3-6x^2+2x+1) =0. Cx, \, </math> ili
 
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:Supstitucija: x+ \frac{1}{x}=t, x^2 +\frac{1}{x^2}=t^2-2
b)Cauchyeva logaritamska jednadžba:
x^2+2x–6+2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}
:<math> f(xy)=f(x)+f(y), \,</math>
čije je opće rješenje funkcija:
\begin{align}
:<math> f(x^6) -19x^3-216=0. C ln x. \, </math>
x^4+2x^3-6x^2+2x+1& = 0 /:(x^2) \\
 
x^2+2x-6+2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}& = 0 \\
==Nelinearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisnom varijablom==
(x^2 +\frac{1}{x^2})+ 2(x+ \frac{1}{x})-6& = 0/(Supstitucija:x+\frac{1}{x}=t, x^2 +\frac{1}{x^2}=t^2-2) \\
Nelinearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisnom varijablom je na primjer:
t^2-2 +2t-6& = 0 \\
:<math> x^4f(2x)-13x af^2+36(x) = 0. \, </math>
t^2+2t-8&=0
čije je opće rješenje funkcija
\end{align}
:<math>a) f(x+ )=\frac{1}{xa} =2 e^{(Cx)}. \, </math>
</math>
 
Rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo da je:
==Nelinearna funkcijska jednadžba s dvije nezavisne varijable==
:<math> t_1=+2, t_2=-4. \, </math>
Nelinearna funkcijska jednadžba s dvije nezavisne varijable je na primjer:
Sukladno uvedenoj supstituciji možemo ustvrditi da je:
Cauchyeva eksponencijalna jednadžba:
:<math>a) x+ \frac{1}{x} =2 \, </math>
:<math> b) f(x+ \frac{1}{x}y)=-4\f(x)f(y), \,</math>
čije je rješenje funkcija: <math> f(x) = e^{(Cx)}.\,</math>
Prema a) nalazimo novu kvadratnu jednadžbu:
 
:<math>x^2-2x+1=0 \, </math> i prva dva rješenja: <math>x_1=x_2= 1, \, </math>
==Izvori==
a prema b) nalazimo i drugu novu kvadratnu jednadžbu:
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe.htm Functional Equations: Exact Solutions] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
:<math>x^2+4x+1=0 \, </math> i druga dva rješenja: <math>x_3 = 2+ \sqrt3
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/eqindex/eqindex-fe.htm Functional Equations: Index] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
x_4 = 2-\sqrt3 . \, </math>