Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 1:
Integracija pomoću Eulerove formule metoda je rješavanja integrala trigonometrijskih funkcija koje pomoću Eulerove formule pretvaramo u integrale eksponencijalnih funkcija. Ova metoda je često jednostavnija i brža u odnosu na metodu parcijalne integracije ili metodu korištenja trigonometrijskih identiteta.
==Eulerova formula==
Eulerova formula izražava da je:
:<math>e^{ix}
Nadomještajući −''x'' za ''x'' nalazimo:
Na taj način možemo funkcije sin i cos prikazati kao:
:<math>\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\quad\text{i}\quad\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.</math>
===Primjer 1===
Razmotrimo integral:
Standardan način rješavanja bio bi prikaz cos<sup>2</sup>x u obliku (1+cos2x)/2.u namjeri da se pojednostavi integrand. Ukoliko se, međutim, koristi Eulerova formula, nalazimo:
:<math>\begin{align}
\int \cos^2 x \, dx \,&=\, \int \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2 dx \\[6pt]
&=\, \frac{1}{4}\int \left( e^{2ix} + 2 + e^{-2ix} \right) dx
\end{align}</math>
Na ovom mjestu postoji opcija povrata u područje realnih brojeva koristeći pri tome jednakost:
''e''<sup>2''ix''</sup> + ''e''<sup>−2''ix''</sup> = 2 cos 2''x''.
▲:<math> f(x) = Cx, \,</math> ili
Međutim, postoji i opcija integracije eksponencijalne funkcije s imaginarnim eksponentima i transformacija u područje trigonometrijskih funkcija na kraju integracije:
:<math>
\frac{1}{4}\int \left( e^{2ix} + 2 + e^{-2ix} \right) dx
\,&=\, \frac{1}{4}\left(\frac{e^{2ix}}{2i} + 2x - \frac{e^{-2ix}}{2i}\right)+C \\[6pt]
▲:<math> f(x) = C ln x. \,</math>
&=\, \frac{1}{4}\left(2x + \sin 2x\right) +C
\end{align}</math>
Ovo je, naravno, jednostavan primjer gdje i nije bilo teško primjeniti uobičajenu zamjenu trigonometrijskim identitetom. U prilikama gdje zamjena nije evidentna, upotreba Eulerove formule može biti od očite prednosti.
===Primjer 2===
Razmotrimo integral:
:<math>\int \sin^2 x \cos 4x \, dx.</math>
Ovdje bi nalaženje trigonometrijskog identiteta koji bi pojednostavio integrand bila izrazito teška. Koristeći, međutim, Eulerovu formula, nalazimo:
:<math>\begin{align}
\int \sin^2 x \cos 4x \, dx \,
&=\, \int \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2\left(\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}\right) dx \\[6pt]
&=\, -\frac{1}{8}\int \left(e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right) dx \\[6pt]
&=\, -\frac{1}{8}\int \left(e^{6ix} - 2e^{4ix} + e^{2ix} + e^{-2ix} - 2e^{-4ix} + e^{-6ix}\right) dx.
\end{align}</math>
Na ovom mjestu možemo provesti neposrednu integraciju ili najprije transformirati izraz u područje trigonometrijskih funkcija pa tek tada provesti integraciju. Oba načina na kraju daju:
:<math>\int \sin^2 x \cos 4x \, dx \,=\, -\frac{1}{24}\sin 6x + \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{8}\sin 2x + C.</math>
==Korištenje realnog dijela Eulerove formule==
Razmotrimo integral:
:<math>\int
kako je cos ''x'' realni dio funkcije ''e''<sup>''ix''</sup>, znamo da je:
:<math>\int
Za integral na desnoj strani jednakosti lako je vrednovati:
:<math>\int e^x e^{ix} \, dx \,=\, \int e^{(1+i)x}\,dx \,=\, \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} + C.</math>
Na taj način možemo zapisati, redom:
:<math>
\int e^x \cos x \, dx \,&=\, \operatorname{Re}\left\{\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right\} + C \\[6pt]
&=\, e^x\operatorname{Re}\left\{\frac{e^{ix}}{1+i}\right\} +C \\[6pt]
&=\, e^x\operatorname{Re}\left\{\frac{e^{ix}(1-i)}{2}\right\} +C \\[6pt]
&=\, e^x\,\frac{\cos x + \sin x}{2} +C.
\end{align}
</math>
==Racionalni izrazi ==
Općenito ova se metoda može koristiti pri vrednovanju bilo kojeg izraza koji uključuje trigonometrijske funkcije. Na primjer, razmotrimo integral:
:<math>\int \frac{1+\cos^2 x}{\cos x + \cos 3x} \, dx.</math>
Primjenjujući Eulerovu formula, ovaj integral postaje
:<math>\frac{1}{2}\int \frac{6 + e^{2ix} + e^{-2ix} }{e^{ix} + e^{-ix} + e^{3ix} + e^{-3ix}} \, dx.</math>
Primijenimo li sada supstituciju:
''u'' = ''e''<sup>''ix''</sup>, nalazimo integral racionalne funkcije:
:<math>\frac{1}{2}\int \frac{6 + u^2 + u^{-2}}{u + u^{-1} + u^3 + u^{-3}}\,\frac{du}{iu}
\,=\, \frac{1}{2i}\int \frac{1+6u^2 + u^4}{1 + u^2 + u^4 + u^6}\,du.</math>
U tom smislu je svaka racionalna funkcija integrabilna uz primjenu parcijalnih razlomaka u integraciji, gdje na taj način možemo integrirati bilo koji racionalni izraz koji uključuje trigonometrijske funkcije.
|