Razlika između inačica stranice »Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4«

bez sažetka
Integracija pomoću Eulerove formule metoda je rješavanja integrala trigonometrijskih funkcija koje pomoću Eulerove formule pretvaramo u integrale eksponencijalnih funkcija. Ova metoda je često jednostavnija i brža u odnosu na metodu parcijalne integracije ili metodu korištenja trigonometrijskih identiteta.
'''Funkcijska jednadžba''' je vrsta jednadžbi gdje se ne traži neka nepoznata veličina, na primjer ''x'', već se traži nepoznata funkcija koja udovoljava nekom traženom uvjetu. Ova vrsta jednadžbi ne može se jednostavno svesti i riješiti kao algebarska jednadžba.
 
==Eulerova formula==
==Linearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisne varijable==
Eulerova formula izražava da je:
Kada su različite funkcije u linearnom odnosu, tada govorimo o linearnoj funkcijskoj jednadžbi koja može biti, na primjer, oblika:
:<math>e^{ix} y(ax)-by(x)=0. \cos x + i\,\sin x.</math>
Nadomještajući &minus;''x'' za ''x'' nalazimo:
:<math> f(x)e^{-ix} = C ln\cos x. - i\,\sin x.</math>
==Linearna funkcijska jednadžba s dvije nezavisne varijable==
Na taj način možemo funkcije sin i cos prikazati kao:
Linearna funkcijska jednadžba s dvije nezavisne varijable je na primjer:
:<math>\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\quad\text{i}\quad\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.</math>
===Primjer 1===
Razmotrimo integral:
:<math>\int \cos^2 f(x) = Cx, \, dx.</math> ili
Standardan način rješavanja bio bi prikaz cos<sup>2</sup>x u obliku (1+cos2x)/2.u namjeri da se pojednostavi integrand. Ukoliko se, međutim, koristi Eulerova formula, nalazimo:
:<math>\begin{align}
\int \cos^2 x \, dx \,&=\, \int \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2 dx \\[6pt]
&=\, \frac{1}{4}\int \left( e^{2ix} + 2 + e^{-2ix} \right) dx
\end{align}</math>
Na ovom mjestu postoji opcija povrata u područje realnih brojeva koristeći pri tome jednakost:
 
''e''<sup>2''ix''</sup>&nbsp;+&nbsp;''e''<sup>&minus;2''ix''</sup>&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;cos&nbsp;2''x''.
a)Cauchyeva jednadžba:
:<math> f(x+y)=f(x)+f(y), \,</math>
čije je opće rješenje funkcija:
:<math> f(x) = Cx, \,</math> ili
 
Međutim, postoji i opcija integracije eksponencijalne funkcije s imaginarnim eksponentima i transformacija u područje trigonometrijskih funkcija na kraju integracije:
b)Cauchyeva logaritamska jednadžba:
:<math> f(xy)=f(x)+f(y), \,</math>begin{align}
\frac{1}{4}\int \left( e^{2ix} + 2 + e^{-2ix} \right) dx
čije je opće rješenje funkcija:
\,&=\, \frac{1}{4}\left(\frac{e^{2ix}}{2i} + 2x - \frac{e^{-2ix}}{2i}\right)+C \\[6pt]
:<math> f(x) = C ln x. \,</math>
&=\, \frac{1}{4}\left(2x + \sin 2x\right) +C
\end{align}</math>
Ovo je, naravno, jednostavan primjer gdje i nije bilo teško primjeniti uobičajenu zamjenu trigonometrijskim identitetom. U prilikama gdje zamjena nije evidentna, upotreba Eulerove formule može biti od očite prednosti.
===Primjer 2===
Razmotrimo integral:
:<math>\int \sin^2 x \cos 4x \, dx.</math>
Ovdje bi nalaženje trigonometrijskog identiteta koji bi pojednostavio integrand bila izrazito teška. Koristeći, međutim, Eulerovu formula, nalazimo:
:<math>\begin{align}
\int \sin^2 x \cos 4x \, dx \,
&=\, \int \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2\left(\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}\right) dx \\[6pt]
&=\, -\frac{1}{8}\int \left(e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right) dx \\[6pt]
&=\, -\frac{1}{8}\int \left(e^{6ix} - 2e^{4ix} + e^{2ix} + e^{-2ix} - 2e^{-4ix} + e^{-6ix}\right) dx.
\end{align}</math>
Na ovom mjestu možemo provesti neposrednu integraciju ili najprije transformirati izraz u područje trigonometrijskih funkcija pa tek tada provesti integraciju. Oba načina na kraju daju:
:<math>\int \sin^2 x \cos 4x \, dx \,=\, -\frac{1}{24}\sin 6x + \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{8}\sin 2x + C.</math>
 
==Korištenje realnog dijela Eulerove formule==
==Nelinearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisnom varijablom==
Razmotrimo integral:
Nelinearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisnom varijablom je na primjer:
:<math>\int f(2x)- afe^2(x) =\cos x 0\, dx.</math>
kako je cos&nbsp;''x'' realni dio funkcije ''e''<sup>''ix''</sup>, znamo da je:
čije je opće rješenje funkcija
:<math>\int f(e^x) \cos x \, dx \,=\frac, \operatorname{1}{aRe}\int e^x e^{(Cx)ix}. \, dx.</math>
 
Za integral na desnoj strani jednakosti lako je vrednovati:
==Nelinearna funkcijska jednadžba s dvije nezavisne varijable==
:<math>\int e^x e^{ix} \, dx \,=\, \int e^{(1+i)x}\,dx \,=\, \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} + C.</math>
Nelinearna funkcijska jednadžba s dvije nezavisne varijable je na primjer:
Na taj način možemo zapisati, redom:
Cauchyeva eksponencijalna jednadžba:
:<math> f(x+y)=f(x)f(y), \,</math>begin{align}
\int e^x \cos x \, dx \,&=\, \operatorname{Re}\left\{\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right\} + C \\[6pt]
čije je rješenje funkcija: <math> f(x) = e^{(Cx)}.\,</math>
&=\, e^x\operatorname{Re}\left\{\frac{e^{ix}}{1+i}\right\} +C \\[6pt]
&=\, e^x\operatorname{Re}\left\{\frac{e^{ix}(1-i)}{2}\right\} +C \\[6pt]
&=\, e^x\,\frac{\cos x + \sin x}{2} +C.
\end{align}
</math>
 
==Racionalni izrazi ==
==Izvori==
Općenito ova se metoda može koristiti pri vrednovanju bilo kojeg izraza koji uključuje trigonometrijske funkcije. Na primjer, razmotrimo integral:
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe.htm Functional Equations: Exact Solutions] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
:<math>\int \frac{1+\cos^2 x}{\cos x + \cos 3x} \, dx.</math>
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/eqindex/eqindex-fe.htm Functional Equations: Index] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Primjenjujući Eulerovu formula, ovaj integral postaje
:<math>\frac{1}{2}\int \frac{6 + e^{2ix} + e^{-2ix} }{e^{ix} + e^{-ix} + e^{3ix} + e^{-3ix}} \, dx.</math>
Primijenimo li sada supstituciju:
''u''&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>''ix''</sup>, nalazimo integral racionalne funkcije:
:<math>\frac{1}{2}\int \frac{6 + u^2 + u^{-2}}{u + u^{-1} + u^3 + u^{-3}}\,\frac{du}{iu}
\,=\, \frac{1}{2i}\int \frac{1+6u^2 + u^4}{1 + u^2 + u^4 + u^6}\,du.</math>
U tom smislu je svaka racionalna funkcija integrabilna uz primjenu parcijalnih razlomaka u integraciji, gdje na taj način možemo integrirati bilo koji racionalni izraz koji uključuje trigonometrijske funkcije.