Nejednadžba: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
m robot Dodaje: sk:Nerovnosť |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 1:
'''Nejednadžba''' je matematički izraz koji povezuje poznate i nepoznate veličine s pomoću nekog od znakova nejednakosti.
U postupku rješavanja [[jednadžba|jednadžbe]] traži se jedna ili više vrijednosti nepoznate veličine koje udovoljavaju uvjetima koje postavlja jednadžba. Jednadžba, bez obzira na vrstu, uvijek sadrži znak jednakosti koji je uveo matematičar [[Robert Recorde]] ([[1510]]. – [[1558]].) [[1557]]. godine i koji povezuje lijevu i desnu stranu jednadžbe. Za razliku od jednadžbe, lijevu i desnu stranu nejednadžbe povezuje znak nejednakosti koji je prvi počeo koristiti engleski matematičar [[Thomas Harriot]] ([[1560]]. – [[2. srpnja]] [[1621]].).▼
▲<!-- U postupku rješavanja [[jednadžba|jednadžbe]] traži se jedna ili više vrijednosti nepoznate veličine koje udovoljavaju uvjetima koje postavlja jednadžba. Jednadžba, bez obzira na vrstu, uvijek sadrži znak jednakosti koji je uveo matematičar [[Robert Recorde]] ([[1510]]. – [[1558]].) [[1557]]. godine i koji povezuje lijevu i desnu stranu jednadžbe. Za razliku od jednadžbe, lijevu i desnu stranu nejednadžbe povezuje
Znak nejednakosti prvi je počeo koristiti engleski matematičar [[Thomas Harriot]] ([[1560]]. – [[2. srpnja]] [[1621]].).
Nejednadžba simbolom za uređaj > ili < iskazuje da lijeva strana nejednadžbe mora biti veća ili manja od desne strane nejednadžbe. Pri rješavanju nejednadžbe traži se<!-- , ne jedna ili nekoliko vrijednosti nepoznate veličine (na pr. ''x'') koja udovoljava postavljenim uvjetima nejednadžbe, već se traži Objašnjan je opet negativno --> interval skupa svih vrijednosti ''x'' koji udovoljavaju nejednadžbi. Nejednadžba može biti izražena i sa <math>\le </math> ili <math>\ge </math>.
Zamjenom znaka „=“ znakom „>“
:<math> 2x-4 = 6 \,</math>
Line 13 ⟶ 14:
:<math> 2x-4 > 6 \,</math>.
Za razliku od rješenja jednadžbe, ''x'' = 5, rješenje nejednadžbe će očito biti
:<math> x > 5 \,</math>,
Line 27 ⟶ 28:
Pravila koje se odnose na postupak rješavanja jednadžbi, vrijede s nekim ograničenjima i za rješavanje nejednadžbi:
1/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijevoj i desnoj strani nejednadžbe
2/ U postupku rješavanja nejednadžbe,
3/ U postupku rješavanja nejednadžbe veličine i nepoznate veličine
te nešto specifično za nejednadžbu
4/ Množenjem cijele nejednadžbe s -1, svi članovi nejednadžbe mijenjaju predznak uz istovremenu promjenu znaka nejednakosti “<” u “>”, odn. “>” u “<”. Primjer:
:<math> -x + 3 < 2x + 15 \,</math>
Line 57 ⟶ 58:
Za sustav od tri nejednadžbe s jednom nepoznanicom traži se skup takvih vrijednosti ''x'' rješenja nejednadžbi koji će udovoljavati svakoj od datih nejednadžbi, gdje je:
rješenje prve nejednadžbe: ''x'' > -6, odn. interval <math>\left\langle-6, +\infty \right\rangle </math>,
rješenje druge nejednadžbe: ''x'' > -3, odn. interval <math>\left\langle-3, +\infty \right\rangle </math>,
rješenje treće nejednadžbe: ''x'' > 2, odn. interval <math>\left\langle2, +\infty \right\rangle </math>.
Rješenje sustava nejednadžbi je, dakle, ''x'' > 2 jer interval vrijednosti ''x'' <math>\left\langle2, +\infty \right\rangle </math> udovoljava za sve tri postavljene nejednadžbe.
=='''Nejednadžbe složenijih oblika'''==
Line 72 ⟶ 73:
:<math> (x+1)(x-3)>0 \,</math>
Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude
a)<math> (x+1)> 0 \,</math> i <math> (x-3)> 0 \,</math>
b)<math> (x+1)< 0 \,</math> i <math> (x-3)< 0 \,</math>.
Oba slučaja mogu se shvatiti kao sustavi nejednadžbi s jednom nepoznanicom
:<math> a) x > -1 \,</math> i <math> x > 3 \,</math>
:<math> b) x < -1 \,</math> i <math> x < 3 \,</math>.
Kako bi skup rješenja ''x'' nejednadžbe udovoljavao uvjetu pod a) mora biti da je ''x'' > 3, a kako bi u drugom slučaju udovoljavao uvjetu pod b) mora biti da je ''x'' < -1. Skup vrijednosti ''x'' rješenja nejednadžbi očito će biti unija skupova iz intervala realnih brojeva
<math>\left\langle -\infty, -1,\right\rangle </math> <math>\left\langle 3, +\infty \right\rangle </math>. ===Nejednadžba kao kvocijent binomnih članova===
Line 92 ⟶ 96:
:<math> \frac{x^2+2}{x+2} \ge 0</math>
Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća ili jednaka nuli, no kako je (''x
===Nejednadžba kao produkt i kvocijent binomnih članova===
Line 104 ⟶ 108:
:<math> y = \frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)} </math>.
Iz izraza koji opisuje funkciju vidljivo je da će funkcija imati nulišta, a graf funkcije nul točke, u točkama: ''x'' = -1 i ''x'' = 2, a polove u točkama ''x'' = -2 i ''x'' = 3. Razvivši, nadalje, oba binomna umnoška, funkciju možemo prikazati u obliku
:<math> y = \frac{-x^2+x+2}{-x^2+x+6} </math>
Line 110 ⟶ 114:
Kako je limes funkcije pozitivan kada ''x'' teži u <math>-\infty</math> i kada teži u <math>+\infty</math>, funkcija će za dovoljno mali i za dovoljno veliki ''x'' biti očito pozitivna s odgovarajućom promjenom predznaka u polovima i nul točkama. Skicirajući tijek funkcije kako ''x'' poprima vrijednosti od <math>-\infty</math> prema <math>+\infty</math>,može se ustanoviti da će funkcija imati redom:
a)pozitivnu vrijednost u intervalu ''x'' od ''x'' = <math>-\infty</math> do prvog pola u ''x'' = -2,
b)negativnu vrijednost od prvog pola ''x'' = -2 do prvog nulišta ''x'' = -1,
c)pozitivnu vrijednost od prvog nulišta ''x'' = -1 do drugog nulišta ''x'' = 2,
d)negativnu vrijednost od drugog nulišta ''x'' = 2 do drugog pola u ''x'' = 3 te opet
e)pozitivnu vrijednost od ''x'' = 3 do ''x'' = <math>+\infty</math>.
Skup rješenja ''x'' nejednadžbe očito je iz unija intervala
| |||