Inačica od 19. kolovoza 2010. u 20:59 uredi Zoran.skoda~hrwiki (razgovor \| doprinosi) 96 edits Nema sažetka uređivanja ← Starija izmjena		Inačica od 19. kolovoza 2010. u 21:09 uredi ukloni ovu izmjenu Zoran.skoda~hrwiki (razgovor \| doprinosi) 96 edits Nema sažetka uređivanja Novija izmjena →
Redak 1: '''Teorija kategorija''' je grana matematike koja se bavi organiziranjem matematičkih struktura u tzv. kategorije i ispitivanjem matematičkih entiteta sa stanovišta teorije kategorija. Osnovali su je [[Saunders MacLane]] i [[Samuel Eilenberg]] u epohalnom radu 1944. godine. Osnovna filozofija je da se matematički objekti ne mjere sami po sebi, po svojem unutarnjem izgledu, nego odnosom prema svim sličnim objektima, s kojima zajedno čini neku prirodnu kategoriju. Ti odnosi među objektima opisuju se preko usmjerenih strelica, koje su neka vrsta apstraktnih preslikavanja među objektima, koje zovemo '''morfizmi''', a ti morfizmi se mogu asocijativno komponirati kad god to ima smisla, tj. kodomena prvog preslikavanja odgovara domeni drugog. U praksi se pokazalo da kad je neko svojstvo matematičkih struktura jednostavno opisati u terminima kategorija, onda je ono često inherentno važno. Tako je teorija kategorija vodič u nalaženju novih plodnih definicija u istraživanju matematičkih ~~objakata~~objekata. Također se te definicije onda lakše prenose na druge slične kategorije objekata što dovodi do lakše i sustavnije interakcije raznih dijelova matematike. === Definicija kategorije === Redak 32: Postoji kategorija kategorija Cat, čiji su objekti (male) kategorije a morfizmi su funktori među kategorijama. Ta kategorija se može proširiti, naime može se govoriti o morfizmima među morfizmima, a to su prirodne transformacije, tako da Cat(''C'',''D'') nije samo skup morfizama nego zapravo kategorija. Tako dolazimo do primjera tzv. 2-kategorije. Pri tome možemo svaki skup nazvati 0-kategorijom, a običnu kategoriju 1-kategorijom. [[Alexander Grothendieck]] uveo je pojam [[ekvivalencija kategorija\|ekvivalencije kategorija]], koja je pojam slabiji od izomorfizma kategorija i koji je prirodniji za 2-kategorije, pa tako i za 2-kategoriju Cat kategorija. Zapravo pokazuje se da se tako može nastaviti i doći do sve oslabljenijih tipova "jednakosti". Počevši od jednakosti unutar skupa, preko izomorfizama na nivou ~~objakata~~objekata unutar kategorije, preko ekvivalencije objekata u 2-kategoriji, 2-ekvivalencije u 3-kategoriji i tako dalje. To podsjeća na pojam homotopije u algebarskoj topologiji. Homotopija je neke vrste morfizam među neprekidnim preslikavanjima. No može se ~~geldati~~gledati homotopija među homotopijama i tako dalje, do tzv. viših homotopija. To vodi k području koje je između teorije kategorija i apstraktne teorije homotopija koju nazivamo '''teorija viših kategorija'''. U matematičkim istraživanjima ta je teorija sad upravo u punom zamahu. Jedna od teškoća je da u teoriji viših kategorija ima više različitih pristupa (formalizama) koji se tehnički dosta razlikuju i do nedavno nije bilo jasno koliko su sami ti pristupi međusobno ekvivalentni. Sada se ta pitanja znatno bolje razumiju nego pred desetak godina i teorija viših kategorija ima sve veće praktične primjene, uključujući i u teorijskoj fizici. Velika mreža wiki stranica posvećenih teoriji kategorija a napose teoriji viših kategorija i primjenama je nlab (http://ncatlab.org/nlab/show/HomePage). [[Category: Matematika]]

Teorija kategorija: razlika između inačica