Teorija kategorija: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Redak 40:
Postoji kategorija kategorija Cat, čiji su objekti (male) kategorije a morfizmi su funktori među kategorijama. Ta kategorija se može proširiti, naime može se govoriti o morfizmima među morfizmima, a to su prirodne transformacije, tako da Cat(''C'',''D'') nije samo skup morfizama nego zapravo kategorija. Tako dolazimo do primjera tzv. 2-kategorije. Pri tome možemo svaki skup nazvati 0-kategorijom, a običnu kategoriju 1-kategorijom.
 
[[Alexander Grothendieck]] uveo je pojam [[ekvivalencija kategorija|ekvivalencije kategorija]], koja je pojam slabiji od izomorfizma kategorija i koji je prirodniji za 2-kategorije, pa tako i za 2-kategoriju Cat kategorija. Zapravo pokazuje se da se tako može nastaviti i doći do sve oslabljenijih tipova "jednakosti". Počevši od jednakosti unutar skupa, preko izomorfizama na nivou objekata unutar kategorije, preko ekvivalencije objekata u 2-kategoriji, 2-ekvivalencije u 3-kategoriji i tako dalje. To podsjeća na pojam homotopije u algebarskoj topologiji. Homotopija se mo\e gledati kao morfizam među neprekidnim preslikavanjima. No može se gledati i homotopija među homotopijama i tako dalje, uvodeći više homotopije. To vodi području koje je između teorije kategorija i apstraktne teorije homotopija, a to je '''teorija viših kategorija'''. U matematičkim istraživanjima ta je teorija upravo sada u punom zamahu. Jedna od teškoća tog smjera je postojanja više pristupa (formalizama) koji se tehnički dosta razlikuju i do nedavno nije bilo jasno koliko su sami ti pristupi međusobno ekvivalentni. Sada se ta pitanja znatno bolje razumiju nego pred desetak godina i teorija viših kategorija ima sve veće praktične primjene, uključujući i u teorijskoj fizici. Glavne ideje u teoriji viših kategorija razvili su [[Alexandre Grothendieck]], [[André Joyal]], [[Ross Street]], [[Carlos Simpson]], Tom Leinster, [[John Baez]], [[Bertrand Toen]], [[Maxim Kontsevich]] i [[Jacob Lurie]]. Na neke od pristupa izrazito je uticala teorija [[modelna kategorija|modelnih kategorija]] (za apstraktnu teoriju homotopija) [[David Quillen|Davida Quillena]], te [[simplicijalni skup|simplicijalne metode]] iz [[algebarska toplogija|algebarske topologije]].
2-kategoriji, 2-ekvivalencije u 3-kategoriji i tako dalje. To podsjeća na pojam homotopije u algebarskoj topologiji. Homotopija se mo\e gledati kao morfizam među neprekidnim preslikavanjima. No može se gledati i homotopija među homotopijama i tako dalje, uvodeći više homotopije. To vodi području koje je između teorije kategorija i apstraktne teorije homotopija, a to je '''teorija viših kategorija'''. U matematičkim istraživanjima ta je teorija upravo sada u punom zamahu. Jedna od teškoća tog smjera je postojanja više pristupa (formalizama) koji se tehnički dosta razlikuju i do nedavno nije bilo jasno koliko su sami ti pristupi međusobno ekvivalentni. Sada se ta pitanja znatno bolje razumiju nego pred desetak godina i teorija viših kategorija ima sve veće praktične primjene, uključujući i u teorijskoj fizici. Glavni doprinosi teoriji viših kategorija dolaze od [[Alexandre Grothendieck|Alaxandra Grothendiecka]], [[André Joyal|André Joyala]], Carlosa Simpsona, Toma Leinstera, Johna Baeza, Bertranda Toena, [[Maxim Kontsevich|Maxima Konstevicha]] i [[Jacob Lurie|Jacoba Lurieja]]. Na neke od pristupa izrazito je uticala teorija [[modelna kategorija|modelnih kategorija]] (za apstraktnu teoriju homotopija) [[David Quillen|Davida Quillena]], te simplicijalne metode iz [[algebarska toplogija|algebarske topologije]].
 
Velika mreža wiki stranica posvećenih teoriji kategorija a napose teoriji viših kategorija i primjenama je nlab''n''lab (http://ncatlab.org/nlab/show/HomePage).
 
[[Category: Matematika]]