Matematička analiza: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja
Nema sažetka uređivanja
Redak 1:
'''Matematička analiza''' grana je [[matematika|matematike]] koja se bavi zasnivanjem i tehnikama [[diferencijalni račun|diferencijalnog]] i [[integralni račun|integralnog računa]], te drugih primjera korištenja [[limes]]a (graničnog prijelaza) kao što je teorija (beskonačnih) [[red (matematika)|redova]], beskonačnih produkata, razvoja analitičkih [[funkcija]] u red, analitičkim produljenjem, varijacijskim računom i slično.
 
== Funkcionalna analiza ==
Analizom na beskonačno-dimenzionalnim prostorima bavi se [[funkcionalna analiza]].
[[Funkcionalna analiza]] bavi se analizom na beskonačno-dimenzionalnim prostorima.
Funkcional je [[funkcija (matematika)|funkcija]] definirana na (tipično) beskonačno dimenzionalnim prostorima preslikavanja (sami ti prostori često nisu linearni prostori). Varijacioni račun bavi se nalaženjem lokalnih ekstrema (minimumi i maksimumi) funkcionala.
 
== Harmonijska analiza ==
Harmonijska analiza potekla je izod izučavanja normalnih modova [[titranje|titrajućih]] sustava i valova[[val]]ova. TmeVrlo je ona vrlo značajna u fizikalnim i inženjerskim primjenama kad je važan linearni režim, npr. u linearnim sustavimsustavima i teoriji linearnog odziva nelinearnih sustava. Matematički, harmonijska analiza se bavi nalaženjem izvjesnog duala grupe simetrije, koji omogućava, uz neke strukture iz teorije mjere, razvoj funkcija po odgovarajućim linearnim bazama u prostorima funkcija. Tu spadaju npr. Fourierovi redovi[[red]]ovi i Fourierovi integrali[[integral]]i. Nekomutativna harmonijska analiza bavi se razlaganjem funkcijskih prostora na posebno važne reprezentacije neprekidnih [[grupa (matematika)|grupa]] simetrije, kad je tih [[simetrija]] dovoljno mnogo (tj. kad vrijedi tzv. [[Plancherelov teorem]]). Reprezentacije su analogoni jednodimenzionalnih funkcijskih podprostora iz komutativnog slučaja.
 
== Diferencijalna geometrija, funkcija na mnogostrukosti i globalna analiza ==
U proučavanju diferencijalnih mnogostrukosti često se kaže da su diferencijalna svojstva preslikavanja iz jednostavnijih prostora u mnogostrukost (npr. krivulje, mnogostrukosti) predmet diferencijalne geometrije, a preslikavanja iz mnogostrukosti u
jednostavnije prostore i napose u realne brojeve, predmet analize funkcija na mnogostrukosti. Globalna svojstva funkcija na mnogostrukosti izučava dio matematičke analize koji se nekad naziva globalna analiza i koja se isprepliće s diferencijalnom geometrijom.
 
== Kompleksna analiza ==
Kompleksna analiza bavi se teorijom [[funkcija kompleksne varijable]];. najznačajnijeNajznačajnije klase interesantnih funkcija kompleksne varijable su holomorfne ili analitične te ne[tonešto općenitije [[meromorfna funkcija|meromorfne funkcije]]. Cijela funkcija je ona koja je analitična u cijeloj kompleksnoj ravnini. Interesantna je i teorija funkcija više kompleksnih varijabli, i općenitije, analiza na [[kompleksna mnogostrukost|kompleksnim mnogostrukostima]].
 
== Teorija distribucija ==
Teoriju distribucija ili [[generalizirana funkcija|generaliziranih funkcija]] zasnovali su [[Sergej Soboljev]] i [[Laurent Schwarz]] sredinom 20-tog stoljeća, kao poopćenje teorije funkcija na funkcionale na prostorima dovoljno lijepih glatkih funkcija, tzv. test funkcija. U fizici često takvi funkcionali imaju smisao funkcija sa fizikalno smislenim i mjerljivim singularitetima. Npr. gustoća naboja u točki može biti formalno beskonačna, ali je ukupan naboj u toj točki konačan. U geometriji na diferencijalnim mnogostrukostima zapravo treba razlikovati generalizirane funkcije od generaliziranih gustoća: prve su funkcionali na prostoru test gustoća, a druge na prostoru test funkcija; kao i funkcije, gustoće se povlače, a gustoće potiskuju duž preslikavanja diferencijalnih mnogostrukosti. Mnoge interesantne operacije dijelomili potpuno se prenose na neke prostore generaliziranih funkcija, pa se tako promatra i Laplacova i Fourierova pretvorba (transformacija) neke klase distribucija. Te pretvorbe koriste se u izučavanju diferencijalnih jednadžbi, a osobito linearnih diferencijalnih jednadžbi s funkcijskim koeficijentima, što je kulminiralo u radovima [[Lars Hörmander|Larsa Hörmandera]]. Teorija diferencijalnih jednadžbi dio je matematičke analize koji je izrazito okrenut prema primjenama, osobito u [[matematička fizika|matematičkoj fizici]] i inženjerstvu.
 
{{mrva-mat}}