Teorija kategorija: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
mNema sažetka uređivanja |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 29:
U kategoriji Set u kojoj su objekti skupovi, morfizmi preslikavanja skupova, a kompozicija je obična kompozicija preslikavanja, monomorfizmi su upravo [[injektivno preslikavanje|injekcije]], a epimorfizmi su upravo [[surjekcija|surjekcije]].
=== Suprotna kategorija ===
Svakoj kategoriji <math>C</math> možemo pridružiti '''suprotnu kategoriju''' <math>C^\circ</math> koja ima iste objekte i morfizme, no ''morfizmi idu u suprotni smjer''. Tako za svaki objekt <math>x</math> imamo njegovu suprotnu kopiju <math>x^\circ</math>, a za morfizam <math>f:x\to y</math> njegov suprotnu kopiju <math>f^\circ:y^\circ\to x^\circ</math> sa zamijenjenom domenom i kodomenom; pri tome je kompozicija definirana s <math>g^\circ\circ f^\circ:=(f\circ g)^\circ </math>, a identitete s <math>1_{x^\circ}:=(1_x)^\circ :x^\circ\to x^\circ</math>. Suprotnu kategoriju nazivamo također dvojstvenom ili dualnom kategorijom kategorije <math>C</math>.
=== Funktori i prirodne transformacije ===
Line 38 ⟶ 42:
Uvjet prirodnosti zapravo je bio osnovna motivacija za uvođenje pojma kategorije, jer se često pojavljivao, a nije bilo jasno kakav opći kontekst izražava taj uvjet.
Nije teško poopćiti pojam funktora na funktor više varijabli. U slučaju dvije varijable ponekad kažemo bifunktor. Bifunktori s varijablama u kategorijama ''C'' i ''D'' i s vrijednostima u kategoriji ''E'' identificiramo s običnim funktorima iz kartezijevog produkta kategorija ''C'' x ''D'' u kategoriju ''E''.
Postoji kategorija kategorija Cat, čiji su objekti (male) kategorije a morfizmi su funktori među kategorijama. Ta se kategorija može proširiti, može se govoriti o morfizmima među morfizmima, a to su prirodne transformacije, tako da Cat(''C'',''D'') nije samo skup morfizama nego zapravo kategorija. Tako se dolazi do primjera tzv. 2-kategorije. Pri tome možemo svaki skup nazvati 0-kategorijom, a običnu kategoriju 1-kategorijom. ▼
=== Monoidalne kategorije ===
'''Striktna monoidalna kategorija''' je kategorija ''C'' opremljena monoidalnim produktom, koji je po definiciji (bi)funktor <math>\otimes : C\times C \to C</math> koji je asocijativan i jediničnim objektom, tj. objektom u <math>C</math> koji je jedinica s obzirom na taj produkt. Većina primjera u matematici vodi, međutim, na monoidalne produkte koji nisu striltno asocijativni, nego su asocijativni do na tzv. koherentni izomorfizam. Takve nestriktne monoidalne kategorije uveo je [[Saunders MacLane]] koji je dokazao i fundamentalni teorem o strukturi kompozicija više koherentnih izomorfizama, naime svake dvije kompozicije s istom domenom i kodomenom su jednake.
=== Više kategorije ===
▲Postoji kategorija kategorija Cat, čiji su objekti (male) kategorije a morfizmi su funktori među kategorijama. Ta se kategorija može proširiti, može se govoriti o morfizmima među morfizmima, a to su prirodne transformacije, tako da Cat(''C'',''D'') nije samo skup morfizama nego zapravo kategorija. Tako se dolazi do primjera tzv. striktne 2-kategorije. Pri tome možemo svaki skup nazvati 0-kategorijom, a običnu kategoriju 1-kategorijom. [[Jean Benabou]] je uveo u razmatranje pojam bikategorije ili slabe 2-kategorije, čija asocijativnost kompozicije je oslabljena koherentnim izomorfizmima koji su po Benabouovoj definiciji dio njihove strukture. Bikategorije sa samo jednim objektom u prirodnoj su bijekciji s monoidalnim kategorijama; time teorija bikategorija efektivno poopćuje teoriju monoidalnih kategorija.
[[Alexandre Grothendieck]] uveo je pojam [[ekvivalencija kategorija|ekvivalencije kategorija]], koja je pojam slabiji od izomorfizma kategorija i koji je prirodniji za 2-kategorije, pa tako i za 2-kategoriju Cat kategorija. Zapravo pokazuje se da se tako može nastaviti i doći do sve oslabljenijih tipova "jednakosti". Počevši od jednakosti unutar skupa, preko izomorfizama na nivou objekata unutar kategorije, pa ekvivalencije objekata u 2-kategoriji, do 2-ekvivalencije u 3-kategoriji i tako dalje. To podsjeća na pojam [[homotopija|homotopije]] u [[algebarska topologija|algebarskoj topologiji]]. Naime, homotopija se može gledati kao morfizam među neprekidnim preslikavanjima. No može se gledati i homotopija među homotopijama i tako dalje, uvodeći više homotopije. To vodi području koje je između teorije kategorija i apstraktne teorije homotopija, a to je '''teorija viših kategorija'''. Pri tome je teorija striktnih viših kategorija mnogo jednostavnija od onih važnijih, slabih, u kojima je asocijativnost kompozicija (kojih ima više u višim kategorijama) do na koherencije, koje opet imaju svoje koherencije i tako dalje, što jako usložnjava njihovu definiciju i proučavanje. No slabe više kategorije su važne jer većina važnih primjera viših kategorija vodi na njih, a ne na jednostavnije, slabe, kategorije.
Uz više kategorije promatra se i niz drugih poopćenja koja podsjećaju strukturom i formalizmom na više kategorije, npr. viši operadi.
[[Kategorija: Matematika]]
| |||