Limes (matematika)

Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.

Limes niza

Neka je $a_{n}$ niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz $a_{n}$ konvergira broju L( realni ili kompleksni) ako vrijedi $(\forall \epsilon >0(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(n\in \mathbb {N} ,n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-L|<\epsilon )$. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleskne nizove jer vrijedi da za kompeksan niz $z_{n}$ možemo pisati kao $z_{n}=a_{n}+ib_{n}$, gdje su $a_{n}$ i $b_{n}$ realni nizovi. Ako niz $z_{n}$ konvergira k $z=a+ib$, onda vrijedi da je $\lim _{n}a_{n}=a$ i isto za niz b(što je lagano za pokazati).
Ako niz realnih brojeva nekonvergira kažemo da divergira.
Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove $(a_{n}),(b_{n})\subseteq \mathbb {R}$ takve da $\lim _{n}a_{n}=A,\lim _{n}b_{n}=B$ i $c\in \mathbb {R}$ vrijedi:

• $\lim _{n}(a_{n}+b_{n})=A+B$
• $\lim _{n}(c\cdot a_{n})=c\cdot A$
• $\lim _{n}(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B$
• $B\neq 0\Rightarrow \lim _{n}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}}$