Inačica od 16. rujna 2010. u 00:48 uredi Petarpan (razgovor \| doprinosi) 6 edits Nema sažetka uređivanja ← Starija izmjena		Inačica od 16. rujna 2010. u 07:31 uredi ukloni ovu izmjenu 82.132.30.188 (razgovor) poveznice, kat, iw Novija izmjena →
Redak 1: '''Limes''' je jedan od osnovnih pojmova u [[matematička analiza\|matematičkoj analizi]]. == Limes niza == Neka je <math>(a_n)</math> [[niz]] realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz <math> (a_n) </math> konvergira broju ''L('' ~~realnan~~(realan ili ~~kompleksnan~~kompleksan broj) ako vrijedi <math> (\forall \epsilon > 0(\exists n_0 \in \mathbb{N}) (n\in \mathbb{N} , n> n_0 \Rightarrow \|a_n - L\|< \epsilon)</math>. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju ''L''. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i ~~kompleskne~~kompleksne nizove jer vrijedi da ~~kompeksan~~kompleksan niz <math> (z_n) </math> možemo pisati kao <math> z_n=a_n+ib_n </math>, gdje su <math> a_n </math> i <math> b_n </math> realni nizovi. Ako niz <math> z_n </math> konvergira k <math>z=a+ib </math>, onda vrijedi da je <math>\lim_{n} a_n=a </math> i isto za niz <math>b_n</math> (što je lagano za pokazati).~~<br>~~▼ Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.~~<br>~~▼ Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove <math> (a_n),(b_n)\subseteq \mathbb{R} </math> takve da <math>\lim_{n} a_n=A,\lim_{n} b_n=B</math> i <math> c \in \mathbb{R}</math> vrijedi:~~<br>~~▼ : <math> \lim_n (a_n+b_n)=A+B</math>▼ : <math> \lim_n (c\cdot a_n)=c\cdot A</math>▼ : <math> \lim_n (a_n\cdot b_n)=A\cdot B</math>▼ : <math> B\neq 0 \Rightarrow \lim_n \frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B} </math>▼ : <math> \|\lim_n a_n\|=\lim_n \|a_n\| </math>▼ ▲Neka je <math>(a_n)</math> niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz <math> (a_n) </math> konvergira broju L( realnan ili kompleksnan broj) ako vrijedi <math> (\forall \epsilon > 0(\exists n_0 \in \mathbb{N}) (n\in \mathbb{N} , n> n_0 \Rightarrow \|a_n - L\|< \epsilon)</math>. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleskne nizove jer vrijedi da kompeksan niz <math> (z_n) </math> možemo pisati kao <math> z_n=a_n+ib_n </math>, gdje su <math> a_n </math> i <math> b_n </math> realni nizovi. Ako niz <math> z_n </math> konvergira k <math>z=a+ib </math>, onda vrijedi da je <math>\lim_{n} a_n=a </math> i isto za niz <math>b_n</math>(što je lagano za pokazati).<br> ▲Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.<br> ▲Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove <math> (a_n),(b_n)\subseteq \mathbb{R} </math> takve da <math>\lim_{n} a_n=A,\lim_{n} b_n=B</math> i <math> c \in \mathbb{R}</math> vrijedi:<br> ▲ <math> \lim_n (a_n+b_n)=A+B</math> ▲* <math> \lim_n (c\cdot a_n)=c\cdot A</math> ▲* <math> \lim_n (a_n\cdot b_n)=A\cdot B</math> ▲* <math> B\neq 0 \Rightarrow \lim_n \frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B} </math> ▲* <math> \|\lim_n a_n\|=\lim_n \|a_n\| </math> == Limes funkcija == Neka je <math>\emptyset \neq I \subseteq \mathbb{R} </math>, <math> c\in \langle a,b \rangle </math>,<math>\langle a,b \rangle \setminus \{c\} \subseteq I </math> i <math> f: I \rightarrow \mathbb{R} </math> [[funkcija (matematika)\|funkcija]]. Kažemo da fƒ ima limes <math> L\in \mathbb{R} </math> u točki ''c'' ili da fƒ konvergira prema ''L'' kada ''x'' teži prema ''c'' ako vrijedi <math> ((a_n) \subseteq \langle a,b \rangle \setminus \{c\}, \lim_n a_n =c \Rightarrow \lim_n f(a_n)=L </math> što pišemo <math> \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L </math>. To možemo ~~izreči~~izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini ''c'' i teži k ''c'', a nije baš ''c'' (jer mi ne znamo ~~jer~~jeli ''c'' u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema ''L''. ~~<br>~~ Postji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je <math>f:I \rightarrow \mathbb{R}, I \subseteq \mathbb{R} </math>. Kažemo da fƒ ima limes <math> L\in \mathbb{R} </math> u <math>c\in I </math> ako vrijedi <math> (\forall \epsilon > 0) (\exists \delta > 0) (x\in I , 0<\|x-c\|<\delta \Rightarrow \|f(x)-L\|<\epsilon) </math~~><br~~> [[Kategorija:Matematička analiza]] {{Link FA\|lmo}} [[ar:نهاية رياضية]] [[bs:Granična vrijednost]] [[bg:Граница (математика)]] [[ca:Límit]] [[cs:Limita]] [[da:Grænseværdi (matematik)]] [[el:Όριο (μαθηματικά)]] [[es:Límite matemático]] [[eo:Limeso]] [[eu:Limite]] [[fa:حد (ریاضی)]] [[fr:Limite (mathématiques)]] [[gan:極限]] [[gl:Límite matemático]] [[ko:극한]] [[hi:सीमा (गणित)]] [[io:Limito]] [[id:Limit]] [[is:Markgildi]] [[it:Limite (matematica)]] [[he:גבול (מתמטיקה)]] [[lt:Riba (matematika)]] [[lmo:Límit (matemàtega)]] [[hu:Határérték]] [[ms:Had (matematik)]] [[nl:Limiet]] [[ja:極限]] [[no:Grenseverdi]] [[km:លីមីត]] [[pl:Granica (matematyka)]] [[pt:Limite]] [[ro:Limită (matematică)]] [[ru:Предел (математика)]] [[sq:Limiti]] [[sk:Limita]] [[sr:Гранична вредност]] [[fi:Raja-arvo]] [[sv:Gränsvärde]] [[tr:Limit]] [[uk:Границя]] [[ur:حد (ریاضی)]] [[zh:极限 (数学)]]

Limes (matematika): razlika između inačica