Derivacija: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
m Dopuna definicije |
Primjer uz definicju |
||
Redak 9:
Deriviraju se [[funkcija|funkcije]]. Derivacija opisuje brzinu promjene funkcije u odnosu na promjenu nezavisne varijable (argumenta funkcije). Deriviranjem funkcije dobije se druga funkcija istih argumenata. Za pojedinu vrijednost nezavisne varijable (derivacija u točki), derivacija je u toj točki jednaka 1 ako funkcija raste (povećava se vrijednost funkcije) jednako brzo kao i nezavisna varijabla; ako funkcija raste brže/sporije, derivacija je veća/manja od 1, te jednaka nuli ako se funkcija ne mijenja. Simetrično, ako funkcija pada (umanjuje se vrijednost funkcije dok argument raste), derivacija je negativna. Za neke funkcije derivacija ne postoji u nekim (ili u svim) točkama. Ako derivacija postoji, kaže se da je funkcija derivabilna u tim točkama ili u tome dijelu svoje domene.
Najjednostavnije je definirati derivaciju realne funkcije jedne realne varijable. Ako je to funkcija ''f'' nezavisne varijable označene sa ''x'', tj.
: <math> \frac{df}{dx} = f'(x) =Df =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\!</math>
Redak 18:
Vrijednost samog razlomka je prosječna brzina promjene funkcije na intervalu od ''x'' do ''x+h''. Ona ovisi o početnoj vrijednosti ''x'' i veličini intervala ''h''. Ako se uzastopno uzimaju sve manji i manji intervali ''h'', kod derivabilne funkcije vrijednost razlomka sve se više i više približava broju koji je granična vijednost ili limes razlomka u točki ''x'', odnosno derivacija funkcije u toj točki.
===Primjer===
Za ilustraciju, ovako se derivira funkcija ''x<sup>2</sup>'':
:<math>(x^2)' =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(2x+h) = 2x</math>
što znači da je funkcija ''x<sup>2</sup>'' derivabilna u cijeloj domeni (za sve vrijednosti varijable ''x''), a njezina derivacija je funkcija ''2x''. Derivacija u pojedinoj točki dobije se uvrštavanjem vrijednosti za ''x'', npr. u točki ''x=3'' derivacija funkcije ''x<sup>2</sup>'' iznosi ''2x=6''.
U gornjem izrazu, prvi razlomak dobiven je upisivanjem funkcije ''x<sup>2</sup>'' umjesto opće oznake ''f(x)'' iz definicije derivacije (prethodni izraz). Potom slijedi jednostavni račun u brojniku: kvadriranje binoma u zagradi, te oduzimanje članova ''x<sup>2</sup>'', čime se dobiva drugi razlomak. U narednom koraku pokrati se ''h'' (i brojnik i nazivnik podijele se s ''h''), pa se dobije jednostavni izraz ''2x+h'' u zagradi ispred koje je i dalje oznaka "limes ''h'' prema nuli".
Jedini konceptualno zanimljiv postupak u opisanome zahvatu je određivanje granične vrijednosti (limesa) promatranih izraza "kada ''h'' teži prema nuli". Smisao je sljedeći: za promatrani ''x'' (dakle, za proizvoljni broj označen kao ''x'') treba odrediti vrijednost (drugi broj, ovisan o ''x'') kojoj se sve više približava početni razlomak kad se ''h'' približava nuli. Prva pomisao mogla bi biti da se odmah naprosto uvrsti ''h=0'' u taj razlomak, ali to ne bi imalo smisla. Naime, ''h'' označava promjenu varijable, za koju se računa promjena funkcije; ako je nula, tih promjena nema, pa se iz njih ne može računati brzina promjene funkcije. A i formalno gledano, ne možemo imati nulu u nazivniku, jer je dijeljenje s nulom besmisleno.
Zato provodimo račun kojim se početni razlomak pojednostavnjuje, a oznaka limesa ispred pojedinih izraza govori da ''h'' nije jednak nuli, nego ćemo samo promatrati kako se izraz ponaša kad se ''h'' približava nuli. Upravo to nam je i omogućilo kraćenje razlomka (dijeljenje s ''h'' koje se ne bi moglo provesti ako bi bilo ''h=0''). No, kad dođemo do izraza ''2x+h'' (u zagradi ispred koje još stoji oznaka limesa), postaje napokon očigledno kojoj se vrijednosti taj izraz po volji blizu približava kada ''h'' "teži" nuli: ta granična vrijednost je ''2x''.
Na sličan se način, s malo više računa, odrede derivacije različitih derivabilnih funkcija (neke se navedene u tablici kasnije u tekstu), kao i pravila o deriviranju zbroja funkcija, umnoška itd. Zato se praktičnom računu opisani postupak više ne mora ponavljati, ako se mogu primjeniti takve "tablične derivacije" i pravila.
==Geometrijska interpretacija==
| |||