Wikipedija

Ubrzanje: razlika između inačica

Pregledaj povijest
← Starija izmjenaNovija izmjena →
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
VizualnoWikitekst
Nema sažetka uređivanja
Nastavak uređenja članka
Redak 41:
==Tangencijalno i normalno ubrzanje==
[[Datoteka:akc sila tang norm.JPG|desno|mini|300px|Rastav sile i ubrzanja na tangencijalnu i normalnu komponentu]]
U svakoj točki proizvoljno zakrivljene putanje neke materijalne čestice može se njezino ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a</math> rastaviti na dvije komponente: na tangencijalno ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a_t</math> koje je paralelno s tangentom na putanju, i na normalno ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a_n</math> koje je paralelnou ssmjeru normalomnormale na putanju. Na skici desno prikazano je u gornjem dijelu ukupno ubrzanje (i sila <math>\scriptstyle \vec F</math> koja ga uzrokuje), a u donjem dijelu to ubrzanje rastavljeno je na tangencijalnu i normalnu komponentu (kao i sila). Prikazane su i tangenta i normala (''t'' i ''n'') kao koordinatne osi: tangenta je u smjeru brzine <math>\scriptstyle \vec v</math>, a normala je okomita na tangentu, leži u ravnini koju određuju brzina i ukupno ubrzanje, i usmjerena je prema "udubljenom" dijelu putanje. (Uobičajeno korištenje istoistog slova ''t'' i za tangentu i za vrijeme ne bi smjelo dovesti do zabune: ono se u tekstu odnosi na tangentu samo kadaako je indeks tangencijalnetangencijalnog vektora ili komponente.)
 
'''Tangencijalno ubrzanje''' opisuje kako se brzo mijenja iznos brzine:
Redak 53:
:::<math>a_n={v^2 \over R_k}</math>.
 
Tu je <math>\scriptstyle a_n</math> skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja, <math>\scriptstyle v</math> je iznos brzine, dok je <math>\scriptstyle R_k</math> radijus zakrivljenosti putanje u promatranoj točki. Pojedine veličine biti će detaljnije opisane u daljnjem tekstu, nakon što se smisao komponenti ubrzanja pojasni na temelju 2. Newtonovog zakona.
 
Na skici su prikazane vektorske komponente, a u gornjem tekstu se koriste skalarne komponente. Odnos između njih i ukupnog ubrzanja je sljedeći:
Ako je <math>\scriptstyle \vec F</math> ukupna (rezultantna) [[sila]] koja djeluje na česticu, ona joj daje ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a</math> u smjeru sile prema formuli <math>\scriptstyle \vec F =m\vec a</math>. Temeljno svojstvo vektora jest da među njihovim komponentama na pojedinoj osi koordinatnog sustava vrijede isti odnosi (jednadžbe) kao i među samim vektorima. To znači da tangencijalna sila daje tangencijalno ubrzanje, a normalna sila daje normalno ubrzanje (kao na skici).▼
 
:::<math> \vec a = \vec a_t + \vec a_n = a_t \vec u_t + a_n \vec u_n </math>.
 
Tu je <math>\scriptstyle \vec u_t</math> jedinični vektor u smjeru tangente (dakle, i u smjeru brzine), dok je <math>\scriptstyle \vec u_n</math> jedinični vektor u smjeru normale (jedinični vektori imaju iznos jednak 1). Kada se skalarna komponenta pomnoži s jediničnim vektorom, dobije se vektorska komponenta, npr. <math>\scriptstyle \vec a_t = a_t \vec u_t </math>.
 
▲Za razumijevanje uloge komponenti ubrzanja korisno je razmotriti njihovu vezu sa silama na temelju 2. Newtonovog zakona. Ako je <math>\scriptstyle \vec F</math> ukupna (rezultantna) [[sila]] koja djeluje na česticu, ona joj daje ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a</math> u smjeru sile prema formuli <math>\scriptstyle \vec F =m\vec a</math>. Temeljno svojstvo vektora jest da među njihovim komponentama na pojedinoj osi koordinatnog sustava vrijede isti odnosi (jednadžbe) kao i među samim vektorima. To znači da tangencijalna sila daje tangencijalno ubrzanje, a normalna sila daje normalno ubrzanje (kao na skici).
 
Odatle se lako razumije zašto tangencijalno i normalno ubrzanje imaju gore navedeni smisao. Tangencijalna sila djeluje u smjeru brzine (ili u suprotnom smjeru); dakle, ona povećava iznos brzine (ili ga umanjuje). Zato tangencijalno ubrzanje opisuje promjenu iznosa brzine (povećanje ili umanjenje). Dakle, nema razloga da se te tangencijalne komponente dovode u vezu s promjenom smjera brzine.
Line 62 ⟶ 68:
 
===Izvod i tumačenje izraza za tangencijalno i normalno ubrzanjne===
Formule za tangencijalno i normalno ubrzanje mogu se dokazati deriviranjem brzine ako se ona prikaže kao umnožak iznosa i jediničnog vektora smjera
 
:::<math>\vec v=v \vec u_t</math>.
 
Jedinični vektor smjera brzinetangente <math>\scriptstyle \vec u_t</math> dobijeima smjer brzine, i može se dobiti tako da se brzina podijeli sa svojim iznosom (zato što je njegov iznos jednak jedinici1). On je ujedno i jedinični vektor tangente, pomoću kojega tangenta postaje koordinatna os orijentirana u smjeru gibanja. Deriviranjem gornjeg izraza za brzinu, prema pravilu deriviranja umnoška, dobije se:
 
:::<math>\vec a={d \vec v \over dt} = {dv \over dt} \vec u_t + v{d\vec{u_t} \over dt}</math>.
Line 72 ⟶ 78:
U desnom pribrojniku treba objasniti što se dobiva deriviranjem jediničnog vektora <math>\scriptstyle \vec u_t</math>. Jedinični vektor ne može promijeniti iznos, nego se samo zakreće (onako kako se zakreće brzina, odnosno tangenta, tijekom gibanja čestice po putanji). Zato derivacija ("vrlo mala" promjena) jediničnog vektora <math>\scriptstyle \vec u_t</math> mora biti okomita na njega, dakle u smjeru normale, odnosno jediničnog vektora normale <math>\scriptstyle \vec u_n</math>. Kad smo tako odredili smjer, treba još samo odrediti iznos te derivacije. Derivacija je brzina promjene, a promjena se sastoji od zakretanja (promjene kuta) vektora <math>\scriptstyle \vec u_t</math>. Brzina promjene kuta je kutna brzina; dakle, iznos derivacije je iznos kutne brzine <math>\scriptstyle \omega</math>. Tako dobivamo:
 
:::<math> \vec a={dv \over dt} \vec u_t + v\omega \vec u_n = a_t \vec a_tu_t + a_n \vec a_nu_n = a_t \vec u_ta_t + a_n \vec u_na_n </math>.
 
Lijevi pribrojnik <math>\scriptstyle \vec a_t = a_t \vec u_t = {dv \over dt} \vec u_t </math> je vektorska tangencijalna komponenta ubrzanja <math>\scriptstyle \vec a_t</math>, opisana kao umnožak skalarne tangencijalne komponente ubrzanja i jediničnog vektora.▼
 
Desni pribrojnik <math>\scriptstyle \vec a_n = a_n \vec u_n = v \omega \vec u_n </math> je vektorska normalna komponenta ubrzanja, čija je skalarna komponenta <math>\scriptstyle v \omega </math>. Na kružnici je iznos kutne brzine <math>\scriptstyle \omega</math> jednak omjeru iznosa brzine i radijusa kružnice, <math>\scriptstyle \omega = v/R </math>. Na krivulji se, u svakoj točki, vrlo mali komadić luka može približno opisati (a u graničnom prijelazu prema nuli, točno opisati) pomoću kružnice jednake zakrivljenosti koja se naziva oskulatornom kružnicom. Radijus te kružnice naziva se radijusom zakrivljenosti krivulje na tome mjestu i označava se kao <math>\scriptstyle R_k</math>. Zato je na krivulji <math>\scriptstyle \omega = v/R_k </math>, pa je skalarna normalna komponenta ubrzanja <math>\scriptstyle v \omega = v^2/R_k </math>.
▲Lijevi pribrojnik <math>\scriptstyle \vec a_t = a_t \vec u_t = {dv \over dt} \vec u_t </math> je vektorska tangencijalna komponenta ubrzanja <math>\scriptstyle \vec a_t</math>, opisana kao umnožak skalarne tangencijalne komponente ubrzanja
 
 
Dobavljeno iz "https://hr.wikipedia.org/wiki/Ubrzanje"