Inačica od 15. kolovoza 2012. u 03:24 uredi Ilevanat (razgovor \| doprinosi) Automatski ophođeni suradnici 254 edits Nastavak uređenja članka ← Starija izmjena		Inačica od 21. kolovoza 2012. u 04:50 uredi ukloni ovu izmjenu Ilevanat (razgovor \| doprinosi) Automatski ophođeni suradnici 254 edits Nastavak uređenja članka Novija izmjena →
Redak 7: Dok se točka giba po kružnici, njezin položaj prikladno je opisati radij-vektorom <math>\scriptstyle\vec r(t)</math> kojemu je početak u središtu kružnice a kraj prati ("dira") točku. Na skici desno označen je samo iznos radij-vektora <math>\scriptstyle r </math> jednak polumjeru kružnice. Točka pritom prelazi put <math>\scriptstyle s </math>, ima [[brzina\|brzinu]] <math>\scriptstyle\vec v </math> te [[ubrzanje]] <math>\scriptstyle\vec a </math>. Za te se veličine kod kružnog gibanja često koristi pridjev '''linearne''' ili '''obodne''', da bi se naglasila razlika u odnosu na '''kutne''' veličine povezane s njima. Kutne veličine opisuju vrtnju polumjera (točnije, radij-vektora) koji "prati" gibanje točke. To su kut zakreta <math>\scriptstyle\varphi </math> radij-vektora, njegova [[kutna brzina]] <math>\scriptstyle\vec\omega </math> te njegovo [[kutno ubrzanje]] <math>\scriptstyle\vec\alpha </math>. Prilikom vrtnje tijela oko nepomične osi, te kutne veličine opisuju gibanje tijela kao cjeline, dok linearne veličine opisuju kružno gibanje njegovih točaka. U ovome poglavlju promatramo, radi jednostavnosti, samo iznose [[vektor]]skih veličina (koji su označeni istim slovom kao i vektori, samo bez strelica). ===Put i kut=== Gornji dio skice upućuje na vezu između puta <math>\scriptstyle s </math> koji pređe točka na kružnici i kuta <math>\scriptstyle\varphi </math> za koji se u istom vremenskom intervalu zakrene polumjer <math>\scriptstyle r </math> (tj. za koji se zakrene radij-vektor): ::<math> s= \varphi \,r </math> . Ta veza proizlazi iz definicije kuta u [[SI]] jedinicama, tj. u [[radijan]]ima: kut je jednak omjeru luka i polumjera, pa je luk (ovdje put <math>\scriptstyle s </math>) jednak umnošku kuta i polumjera. ===Brzina i kutna brzina=== Iznos brzine <math>\scriptstyle v </math> definira se kao derivacija pređenog puta po vremenu, <math>\scriptstyle v = ds/dt </math> (kod jednolikog gibanja ~~kao~~ta je derivacija jednaka ~~omjer~~omjeru puta i vremena). Iznos kutne brzine <math>\scriptstyle\omega </math> definira se kao derivacija kuta zakreta po vremenu, <math>\scriptstyle \omega = d\varphi/dt </math> (kod jednolikog gibanja ~~kao~~ta je derivacija jednaka ~~omjer~~omjeru kuta i vremena). Ako se ~~gornja~~ veza između puta i kuta (iz prethodnog odlomka) derivira po vremenu (kod jednolikog gibanja to je isto kao da se podijeli s vremenom), dobije se: ::<math> v = \omega \,r </math> . ===Tangencijalno i kutno ubrzanje=== U općem slučaju kružnog gibanja točka (materijalna čestica) može imati bilo kakvo ubrzanje koje leži u ravnini kružnice i nije usmjereno izvan kružnice. Kao i kod svakog gibanja po krivulji, to se ubrzanje može rastaviti na tangencijalnu komponentu <math>\scriptstyle a_t </math> i na normalnu komponentu <math>\scriptstyle a_n </math>. Skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja <math>\scriptstyle a_t </math> opisuje kako se brzo mijenja iznos brzine, <math>\scriptstyle a_t = dv/dt </math>. Analogno tome, kutno ubrzanje <math>\scriptstyle\alpha </math>, kao skalar, opisuje kako se brzo mijenja iznos kutne brzine, <math>\scriptstyle \alpha =~~\frac{\mathrm{~~ d}\omega~~}{\mathrm{d}t}~~/dt </math>. Ako se ~~gornja~~ veza između iznosa brzine i iznosa kutne brzine (iz prethodnog odlomka) derivira po vremenu (kod jednoliko ubrzanog gibanja podijeli s vremenom), dobije se: ::<math> a_t = \alpha \,r </math> . ===Centripetalno ili radijalno ubrzanje=== ~~Ukupno ubrzanje kod gibanja po krivulji sastoji se od tangencijalne i normalne komponente.~~ Kod kružnog gibanja, umjesto naziva ''normalno ubrzanje'' koristi se naziv '''centripetalno ubrzanje''' ili '''radijalno ubrzanje''' (zato što je usmjereno prema ''centru'' kružnice, odnosno u ''radijalnom'' smjeru) i često se označava kao <math>\scriptstyle a_{cp}</math>. Kako je pokazano u članku o ubrzanju (i u donjem poglavlju o vektorskim veličinama), ono iznosi: ::<math>a_{cp}={v^2 \over r}</math> . Line 37 ⟶ 39: ==Vektorske veličine== [[Datoteka:Winkelgeschwindigkeit.png\|desno\|mini\|300px\|Vektor kutne brzine <math>\scriptstyle\vec\omega </math>]] Opis kružnog gibanja i vrtnje dramatično se pojednostavnjuje ako se koriste odgovarajuće vektorske veličine. Najjednostavnije polazište za primjenu i razumijevanje vektorskog prikaza kutnih veličina jest definiranje kutne brzine kao vektora (skica desno). Kod kružnog gibanja definira se vektor kutne brzine <math>\scriptstyle\vec\omega </math> tako da bude okomit na kružnicu i ima iznos jednak "iznosu kutne brzine" <math>\scriptstyle\omega </math> opisanome u gornjem tekstu. Dodatno, duž te okomice, smjer vektora <math>\scriptstyle\vec\omega </math> (na skici desno to znači "gore" ili "dolje") određuje tzv. [[pravilo desne ruke]]. U ovome slučaju, to pravilo znači: ako prste desne ruke savijemo u smjeru kruženja, onda palac desne ruke pokazuje smjer kutne brzine. To da pravac kutne brzine mora biti okomit na ravninu kruženja nije teško razumjeti: kod vrtnje tijela oko nepomične osi to je jedini pravac vezan uz tijelo koji ne mijenja smjer (obrazloženje se može poopćiti i na opći slučaj vrtnje). Izbor smjera duž te okomice (desna ruka umjesto lijeve) bio je zapravo proizvoljan - no, sad je već nepovratno ugrađen u širi matematički formalizam koji se primjenjuje i daleko izvan područja kutnih veličina. Međutim, vektori koji su na taj način definirani imaju neka svojstva po kojima se razlikuju od drugih vektorskih veličina, te se nazivaju ''pseudovektorima''. Za matematički opis odnosa između kutnih i linearnih veličina kod kružnog gibanja koristi se operacija među vektorima pod nazivom [[vektorski umnožak]] vektora, koja se označava simbolom "<math>\scriptstyle\times </math>" između množitelja. (Vektorski umnožak podrazumijeva korištenje pravila desne ruke, zbog čega povezuje "prave" vektore sa pseudovektorima.) U prethodnom tekstu izvedena relacija <math>\scriptstyle v = \omega r </math> između iznosa linearne i kutne brzine, te polumjera kružnice, postaje - nakon definiranja kutne brzine kao vektora - posve analogna relacija među odgovarajućim vektorskim veličinama, uz korištenje vektorskog umnoška (i radij-vektora umjesto polumjera): :<math> \vec v=\vec\omega \times \vec r</math>. Deriviranjem ove relacije po vremenu dobiva se: :<math>\vec a_t =\vec \alpha \times\vec r</math>, gdje je <math>\scriptstyle\vec\alpha </math> vektor kutnog ubrzanja, definiran kao derivacija po vremenu vektora kutne brzine <math>\scriptstyle\vec\omega </math>. Korisno je napomenuti da sam kut zakreta <math>\scriptstyle\varphi </math>, uostalom kao ni pređeni put <math>\scriptstyle s </math> (pomoću kojih se definiraju iznosi kutne i linearne brzine), nisu vektorske veličine (razlozi za to nisu analogni). Tek njihovi diferencijali ("beskonačno mali komadići") imaju svojstva vektora, u smjeru odgovarajućih brzina. Za ilustraciju primjene vektorskih veličina i pravila vektorskog računa, navodi se izvod normalnog (centripetalnog) ubrzanja za kružno gibanje: [[Datoteka:Derivation of normal acceleration for circular motion.JPG\|Izvod normalnog ubrzanja za kružno gibanje pomoću vektorskog računa]] Deriviranjem vektora brzine, koji je prikazan kao vektorski umnožak kutne brzine i radij-vektora, dobivaju se dva člana. Prvi od njih je, očito, vektor tangencijalne akceleracije. Drugi član ima smjer prema središtu kružnice, a iznos mu je <math>\scriptstyle \omega v = v^2 / r = a_{cp} </math> .

Kružno gibanje: razlika između inačica