Vektor: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
m sitne ispravke |
Dovršetak uređivanja članka |
||
Redak 49:
:<math> F_y = -2N </math>
Iz tako zadanih skalarnih komponenti, iznos <math>\scriptstyle F </math> vektora <math>\scriptstyle \vec F </math> lako se izračuna pomoću Pitagorinog poučka
:<math> F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}</math><br><br>
a smjer se u ravnini ''x,y'' opisuje pomoću kuta prema jednoj od koordinatnih osi. Na skici je označen kut prema osi ''x'', na način uobičajen u tehničkoj praksi (za razliku od matematike), kao neorijentirani kut <math>\scriptstyle \alpha </math> manji od 90°. Taj se kut može odrediti pomoću tangensa omjera skalarnih komponenti.
Obrnuto, ako bi bio poznat iznos vektora <math>\scriptstyle \vec F </math> i kut <math>\scriptstyle \alpha </math>, skalarne komponente za primjer sa skice računaju se kao
:<math> F_x = F \cos \alpha </math>
:<math> F_y = -F \sin \alpha </math>
== Matematička definicija u ''n''-dimenzionalnom prostoru ==▼
gdje se predznak skalarne komponente određuje sa skice, jer su trigonometrijske funkcije kuta manjega od 90° pozitivne.
[[Datoteka:3D vector component.png|lijevo|mini|300px|Rastav vektora na komponente u koordinatnom sustavu u prostoru]]
U mnogim je praktičnim situacijama moguće promatrati vektore i njihove komponente samo u jednoj ravnini, kao na gornjoj skici. No, često promatrani vektori ne leže u istoj ravnini, pa je potrebno računati s njihovim komponentama duž sve tri osi (skica lijevo). Postupak rastavljanja na komponente u načelu je sličan, mada ima malo više računanja.
Vektor se pomoću skalarnih komponenti može zapisati na dva načina. Jedan je da se eksplicitno navedu jednični vektori koordinatnih osi, kako slijedi iz prethodnog opisa:
:<math> \vec F = F_x \vec i + F_y \vec j + F_z \vec k </math>
Drugi način je pomoću ''uređene trojke'' brojeva: navode se samo skalarne komponente u redoslijedu ''x,y,z'' :
:<math> \vec F = (F_x, F_y, F_z) </math>
U takvom zapisu, sila <math>\scriptstyle \vec F </math> iz gornjeg ravninskog primjera prikazuje se kao
:<math> \vec F = (4N, -2N, 0) </math>.
U općenitijem matematičkom opisu u n-dimenzionalnom prostoru, vektori se obično prikazuju pomoću uređenih n-torki, a brojevi u njima nazivaju se komponentama ili koordinatama vektora u nekoj bazi prostora.
Prikaz vektora pomoću skalarnih komponenti u našem "običnom" prostoru značajno olakšava računanje. Vektori su jednaki ako su im jednake odgovarajuće skalarne komponente. Vektori se zbrajaju ili oduzimaju tako da se zbroje ili oduzmu njihove odgovarajuće skalarne komponente. I druge operacije među vektorima izražavaju se preko skalarnih komponenata, a različite jednadžbe među vektorima preslikavaju se u jednadžbe među njihovim skalarnim komponentama.
===Međusobno množenje vektora===
U našem običnom prostoru, dva se vektora mogu međusobno množiti na dva načina, koji su se razvili ponajprije za potrebe jednostavnijeg zapisa odnosa među vektorskim veličinama u fizici, napose u mehanici.
'''Skalarni produkt''', ili [[skalarni umnožak]], ili '''unutarnji produkt''', ili '''in-produkt''' (na engleskom ''dot product'', jer se obično piše pomoću točke između vektora) je operacija koja kao rezultat množenja dvaju vektora daje skalar (broj). Npr. za vektore <math>\scriptstyle \vec a </math> i <math>\scriptstyle \vec b </math> može se skalarni produkt definirati jednostavnim izrazom:
:<math> \vec a \cdot \vec b = ab \cos \theta </math>,
gdje je <math>\scriptstyle \theta </math> kut među vektorima, dok su <math>\scriptstyle a </math> i <math>\scriptstyle b </math> njihovi iznosi.
[[Datoteka:Producto vectorial 2.png|desno|mini|160px|Vektorsko množenje vektora]]
'''Vektorski produkt''', ili [[vektorski umnožak]], ili '''vanjski produkt''', ili '''eks-produkt''' (jer se obično piše pomoću križića sličnoga znaku znaku ''x'') je operacija koja kao rezultat množenja dvaju vektora (npr. vektora <math>\scriptstyle \vec u </math> i <math>\scriptstyle \vec v </math>) daje treći vektor, okomit na njih oba, a smjer mu pobliže određuje [[pravilo desne ruke]] (skica desno). Umnožak (taj treći vektor) piše se kao <math>\scriptstyle \vec u \times \vec v </math>, a izos mu je:
:<math> |\vec u \times \vec v| = uv\sin \theta </math>,
[[Datoteka:Interpretación de triple producto escalar.svg|lijevo|mini|200px|Geometrijska interpretacija mješovitog produkta]]
Budući da je rezultat vektorskog množenje dvaju vektora opet vektor, on se može dalje množiti s nekim vektorom. Ako je to daljnje množenje vektorsko, dobije se '''trostruki vektorski produkt''', npr:
:<math> (\vec u \times \vec v) \times \vec w </math>.
Rezultat ovisi o položaju zagrada (tj. vektorsko množenje nije asocijativno). Usto, za razliku od skalarnog množenja, treba paziti i na redoslijed faktora u vektorskom množenju, jer se zamjenom mjesta dobija vektor suprotnog smjera (vektorsko množenje je antikomutativno). Trostruki produkt može se, naravno, i dalje vektorski množiti, pa se dobije četverostruki produkt, itd.
Ako se vektorski produkt dvaju vektora pomnoži skalarno s trećim vektorom, dobije se tzv. '''mješoviti produkt'''. Na skici lijevo prikazano geometrijsko tumačenje mješovitog produkta
:<math> \vec u \cdot (\vec v \times \vec w) </math>.
Iznos vektorskog produkta je, po definiciji, jednak površini paralelograma kojega određuju vektori <math>\scriptstyle \vec v </math> i <math>\scriptstyle \vec w </math> (obojan sivo, površina označena slovom ''A''). Iznos skalarnog produkta vektora <math>\scriptstyle \vec u </math> i <math>\scriptstyle \vec v \times \vec w </math> jednak je umnošku te površine i projekcije vektora <math>\scriptstyle \vec u </math> na vektor <math>\scriptstyle \vec v \times \vec w </math>, koja je označena slovom ''h''. Dakle, rezultat mješovitog produkta je volumen prikazane kose prizme, ''V=Ah''.
Neka važna svojstva množenja vektora, kao i zapis množenja pomoću skalarnih komponenata, navedeni su u "matematičkom" dijelu koji slijedi.
▲== Matematička definicija vektora u ''n''-dimenzionalnom prostoru ==
Vektorske veličine su veličine određene s tri ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za [[Geometrija|geometriju]] u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smjerom i intenzitetom (iznosom, veličinom, dužinom), a predstavlja strjelicom orijentiranom duž pravca, duljine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smjer na zadanom pravcu. Poopćeni vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije.
| |||