Razlika između inačica stranice »Suradnik:Vojka/pijesak«

bez sažetka
[[Image:Complex number illustration.svg|thumb|right|Kompleksni broj se može vizualno prikazati kao uređeni par <math>(a,b)</math> koji formiraju [[vektor]] u kompleksnoj ravnini. ''Re'' je realna os, a ''Im'' je imaginarna os]]
[[Image:Pascal's triangle 5.svg|right|thumb|200px|[[Binomni koeficijent|Binomni koeficijenti]] se mogu izračunati kao dijelovi Pascalova trokuta, gdje je svaki broj zbroj ona dva iznad njega.]] U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije [[binom|binoma]]. Prema tom poučku moguće je (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'')<sup>''n''</sup> proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>, gdje su b i c pozitivni [[cijeli brojevi]], i koeficijent ''a'' je specifični pozitivni [[broj]] ovisan o ''n'' i ''b''. Kada je [[eksponent]] jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :
 
'''Kompleksni brojevi''' su [[izraz]]i oblika <math>a + bi</math>, gdje su <math>a</math> i <math>b</math> [[realni brojevi]], a <math>i</math> [[Imaginarni broj|imaginarna jedinica]]. U ovome izrazu, <math>a</math> se zove realni dio kompleksnog broja, a <math>b</math> imaginarni dio kompleksnog broja. Kompleksni brojevi proširuju ideju jednodimenzionalnog [[Brojevni pravac|brojevnog pravca]] u dvodimenzionalnu [[Kompleksna ravnina|kompleksnu ravninu]] tako što uzima vodoravnu os za realni dio broja, a okomitu os za imaginarni dio broja. Kompleksni broj <math>a+bi</math> može se zapisati točkom <math>(a, b)</math> u kompleksnoj ravnini. Kompleksni broj kojemu je imaginarni dio jednak nuli je [[Realni broj|realan broj]]. Na ovaj način kompleksni brojevi sadrže [[Realni broj|realne brojeve]] proširujući ih tako da možemo riješiti probleme koji nisu rješivi u skupu realnih brojeva.
<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.</math>
 
Kompleksni se brojevi koriste u mnogim poljima znanosti, uključujući [[fizika|fiziku]], [[kemija|kemiju]], [[biologija|biologiju]], [[ekonomija|ekonomiju]], [[statistika|statistiku]] i [[matematika|matematiku]]. Prvi koji je uveo kompleksne brojeve bio je talijanski matematičar [[Girolamo Cardano]]. Nazvao ih je "imaginarnima" tijekom svojih pokušaja da riješi [[kubna jednadžba|kubnu jednadžbu]] u 16. stoljeću, ali oni nisu ništa manje "stvarni" od ostalih vrsta brojeva.
Koeficijent ''a'' u izrazu ''x''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup> je također poznat kao [[binomni koeficijent]] <math>\tbinom nb</math> ili <math>\tbinom nc</math> (ova dva imaju istu vrijednost). Ovi koeficijenti za različite ''n'' i ''b'' se mogu složiti u [[Pascalov trokut]]. Ovi se brojevi također pojavljuju u [[kombinatorika|kombinatorici]], gdje <math>\tbinom nb</math> daje broj različitih kombinacija ''b'' elemenata izabranih iz [[skup|skupa]] od ''n'' elemenata.
== Trigonometrijski oblik ==
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:
 
<center><math>a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,</math>,</center>
==Povijest==
 
<math> \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}</math>, za <math>a>0</math> i <math> \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a}</math> za <math>a<0</math>; kada je <math>a=0</math> onda je <math> \phi = \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b>0</math> i <math> \phi =- \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b<0</math>. Broj <math> \rho</math> se naziva [[modul]] kompleksnog broja, a <math> \phi</math> je [[argument]] kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre|De Moivreova formula:
Formula i prikaz binomnih koeficijenata u obliku trokuta se često pripisuju [[Blaise Pascal|Blaiseu Pascalu]], koji ih je opisao u 17. stoljeću, iako je bio poznat mnogim matematičarima prije njega. U 4. stoljeću pr. Kr [[Euklid| grčki matematičar Euklid]] je znao posebni slučaj binomnog poučka za ''n''=2, kao i u 3. stoljeću pr. Kr indijski matematičar [[Pingala]] za više eksponente. Općeniti binomni poučak i takozvani "Pascalov trokut" su bili poznati u 10. stoljeću poslije Krista indijskom matematičaru Halayudhi i perzijskom matematičaru Al-Karaji, te u 11. stoljeću perzijskom pjesniku i matematičaru Omaru Khayyamu,i u 13. stoljeću kineskom matematičaru Yangu Huiu, koji su svi imali slične rezultate. Al-Karaji je također dokazao binomni poučak i "Pascalov trokut", koristeći [[Matematička indukcija|matematičku indukciju]]
 
<center><math>( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,</math> .</center>
==Iskaz poučka==
 
Kompleksni se brojevi često predstavljaju [[vektor]]ima u [[kompleksna ravnina|kompleksnoj ravnini]] (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva <math>a,b, \rho,\phi</math> vidi se na [[crtež]]u. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po [[pravilo paralelograma|pravilu paralelograma]].
Prema poučku, moguće je proširiti bilo koju potenciju od ''x + y'' u zbroj oblika :
 
[[Datoteka:Kompleksna-ravan.gif]]
<math>(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,</math>, gdje je <math> \tbinom nk </math> specifičnipozitivan broj poznat kao binomni koeficijent. Ovo je također poznato kao [[binomna formula]] ili [[binomni identitet]]. Također se može zapisati kao :
 
Duljina vektora <math>\rho</math> je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću [[Pitagorina teorem|Pitagorinog teorema]]. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: <math>|z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}</math>.
<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.
</math>
 
Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća [[Eulerova formula]]:
Jedna od varijanti binomne formule se dobija zamjenom 1 za ''y'', tako da ima samo jednu [[varijabla|varijablu]]. U ovom obliku, formula izgleda ovako :
 
<center><math>e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,</math>;</center>
:<math>(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math>
 
preko nje se definira [[stupnjevanje]] kompleksnih brojeva, [[logaritam]] kompleksnog broja i dr.
ili ekvivalento :
 
Kompleksni brojevi oblikuju [[algebarsko zatvoreno polje]]. [[Polje]] kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa <math>i</math>, takvog da je <math>i^2=-1</math>.
:<math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.</math>
 
[[Kategorija:Brojevi]]
==Primjeri==
[[Image:Pascal triangle small.png|thumb|right|300px|Pascalov trokut]]
Najjednostavniji primjer je kvadrat od ''x+y'' :
 
{{Link FA|lmo}}
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!</math>
 
[[af:Komplekse getal]]
Binomni koeficijenti 1, 2, 1 se pojavljuju u trećem redu [[Pascalov trokut|Pascalova trokuta]]. Koeficijenti za veće eksponente se nalaze u nižim redovima Pascalova trokuta.
[[am:የአቅጣጫ ቁጥር]]
 
[[an:Numero complexo]]
<math>
[[ar:عدد مركب]]
\begin{align}
[[as:জটিল সংখ্যা]]
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
[[az:Kompleks ədədlər]]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
[[bat-smg:Kuompleksėnis skaitlios]]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
[[be:Камплексны лік]]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
[[be-x-old:Камплексны лік]]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
[[bg:Комплексно число]]
\end{align}
[[bn:জটিল সংখ্যা]]
</math>
[[bs:Kompleksan broj]]
 
[[ca:Nombre complex]]
 
[[cs:Komplexní číslo]]
Primjetite da :
[[cy:Rhif cymhlyg]]
# eksponenti od ''x'' se smanjuju dok ne dođu do nule (<math>x^0=1</math>), a početna im je vrijednost ''n''
[[da:Komplekse tal]]
# eksponenti od ''y'' rastu dok ne dođu do ''n'', a početna im je vrijednost 0 (<math>x^0=1</math>)
[[de:Komplexe Zahl]]
# ''N''-ti red Pascalova trokuta će biti koeficijenti proširenog binoma. (Red na vrhu je red 0)
[[el:Μιγαδικός αριθμός]]
# Za svaki red Pascalova trokuta, zbroj koeficijenata je jednak <math>2^n</math>.
[[eml:Nómmer cumplês]]
 
[[en:Complex number]]
Za binome koji imaju oduzimanje, poučak se može primjeniti, sve dok mijenjamo predznak svako drugom koeficijentu u izrazu :
[[eo:Kompleksa nombro]]
 
[[es:Número complejo]]
:<math>(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!</math>
[[et:Kompleksarv]]
 
[[eu:Zenbaki konplexu]]
===Geometrijsko objašnjenje===
[[fa:عدد مختلط]]
[[datoteka:BinomialTheorem.png|desno|270px]]
[[fi:Kompleksiluku]]
Za pozitivne vrijednosti ''a'' i ''b'', binomni poučak za ''n'' = 2, geometrijski je očito da se [[kvadrat]] sa stranicom ''(a+b)'' može izrezati u kvadrat sa stranicom <math>a^2</math>, kvadrat sa stranicom <math>b^2</math>, i dva pravokutnika da stranicama ''a'' i ''b''. Za ''n=3'', poučak kaže da se kocka sa stranicom ''(a + b)'' može izrezati u kocku sa stranicom <math>a^3</math>, kocku sa stranicom <math>b^2</math>, tri kvadra oblika ''a''&times;''a''&times;''b'' te tri kvadra oblika ''a''&times;''b''&times;''b''.
[[fiu-vro:Kompleksarv]]
 
[[fo:Fløkjutal]]
==Binomni koeficijenti==
[[fr:Nombre complexe]]
 
[[fy:Kompleks getal]]
Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom poučku se zovu '''binomni koeficijenti'''.
[[ga:Uimhir choimpléascach]]
 
[[gan:複數]]
===Formulas===
[[gl:Número complexo]]
 
[[he:מספר מרוכב]]
Koeficijent od ''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup> je zadan formulom
[[hi:समिश्र संख्या]]
 
[[hu:Komplex számok]]
:<math>{n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>,
[[id:Bilangan kompleks]]
 
[[is:Tvinntölur]]
koji je definiran funkcijom faktorijela. Također, formula se može zapisati kao :
[[it:Numero complesso]]
 
[[ja:複素数]]
:<math>{n \choose k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell}</math>
[[jbo:relcimdyna'u]]
 
[[ka:კომპლექსური რიცხვი]]
==Dokazi==
[[kk:Комплекс сан]]
===Kombinatorični dokaz===
[[km:ចំនួនកុំផ្លិច]]
[[ko:복소수]]
[[la:Numerus complexus]]
[[lmo:Nümar cumpless]]
[[lo:ຈຳນວນສົນ]]
[[lt:Kompleksinis skaičius]]
[[lv:Komplekss skaitlis]]
[[mg:Isa haro]]
[[mk:Комплексен број]]
[[ml:മിശ്രസംഖ്യ]]
[[ms:Nombor kompleks]]
[[my:ကွန်ပလက်စ်ကိန်း]]
[[nl:Complex getal]]
[[nn:Komplekse tal]]
[[no:Komplekst tall]]
[[oc:Nombre complèxe]]
[[os:Комплексон нымæц]]
[[pl:Liczby zespolone]]
[[pms:Nùmer compless]]
[[pnb:کمپلیکس نمبر]]
[[pt:Número complexo]]
[[ro:Număr complex]]
[[ru:Комплексное число]]
[[rue:Комплексне чісло]]
[[sah:Комплекс ахсаан]]
[[scn:Nùmmuru cumplessu]]
[[sh:Kompleksan broj]]
[[si:සංකීර්ණ සංඛ්‍යා]]
[[simple:Complex number]]
[[sk:Komplexné číslo]]
[[sl:Kompleksno število]]
[[sq:Numrat kompleksë]]
[[sr:Комплексан број]]
[[sv:Komplexa tal]]
[[ta:சிக்கலெண்]]
[[te:సంకీర్ణ సంఖ్యలు]]
[[th:จำนวนเชิงซ้อน]]
[[tl:Masalimuot na bilang]]
[[tr:Karmaşık sayı]]
[[tt:Комплекс сан]]
[[uk:Комплексне число]]
[[ur:مختلط عدد]]
[[vi:Số phức]]
[[vls:Complexe getalln]]
[[war:Complex number]]
[[xal:Комплексин тойг]]
[[yi:קאמפלעקסע צאל]]
[[yo:Nọ́mbà tóṣòro]]
[[zh:复数 (数学)]]
[[zh-classical:複數]]
[[zh-min-nan:Ho̍k-cha̍p-sò͘]]
[[zh-yue:複數]]
29

uređivanja