Razlika između inačica stranice »Suradnik:Vojka/pijesak«

Obrisano 1.355 bajtova ,  prije 9 godina
bez sažetka
 
Kompleksni se brojevi koriste u mnogim poljima znanosti, uključujući [[fizika|fiziku]], [[kemija|kemiju]], [[biologija|biologiju]], [[ekonomija|ekonomiju]], [[statistika|statistiku]] i [[matematika|matematiku]]. Prvi koji je uveo kompleksne brojeve bio je talijanski matematičar [[Girolamo Cardano]]. Nazvao ih je "imaginarnima" tijekom svojih pokušaja da riješi [[kubna jednadžba|kubnu jednadžbu]] u 16. stoljeću, ali oni nisu ništa manje "stvarni" od ostalih vrsta brojeva.
== Trigonometrijski oblik ==
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:
 
==Pregled==
<center><math>a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,</math>,</center>
Kompleksni brojevi omogućavaju rješenja jednadžbama koja nemaju [[realni broj|realna rješenja]]. Jednadžba :
 
<math>(x+1)^2 = -9</math>
<math> \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}</math>, za <math>a>0</math> i <math> \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a}</math> za <math>a<0</math>; kada je <math>a=0</math> onda je <math> \phi = \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b>0</math> i <math> \phi =- \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b<0</math>. Broj <math> \rho</math> se naziva [[modul]] kompleksnog broja, a <math> \phi</math> je [[argument]] kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre|De Moivreova formula:
 
nema realnog rješenja, budući da je kvadrat [[realni broj|realnog broja]] uvijek ili 0 ili pozitivan broj. Kompleksni brojevi imaju rješenje za ovu jednadžbu. Oni proširuju realne brojeve sa [[imaginarni broj|imaginarnom jedinicom]] ''i'' za koju vrijedi <math>i^2 = -1</math>, tako da su jednadžbe poput ove iznad ipak rješive. U ovom slučaju, rješenje je ''-1 ± 3i''. Zapravo, ne samo [[kvadratna jednadžba ]], već sve polinomalne jednadžbe sa jednom [[varijabla|varijablom]] mogu se riješiti koristeći kompleksne brojeve.
<center><math>( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,</math> .</center>
 
===Definicija===
Kompleksni se brojevi često predstavljaju [[vektor]]ima u [[kompleksna ravnina|kompleksnoj ravnini]] (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva <math>a,b, \rho,\phi</math> vidi se na [[crtež]]u. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po [[pravilo paralelograma|pravilu paralelograma]].
Kompleksni brojevi se prikazuju u obliku
<math>a+bi</math>
 
[[Datoteka:Kompleksna-ravan.gif]]
 
Duljina vektora <math>\rho</math> je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću [[Pitagorina teorem|Pitagorinog teorema]]. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: <math>|z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}</math>.
 
Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća [[Eulerova formula]]:
 
<center><math>e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,</math>;</center>
 
preko nje se definira [[stupnjevanje]] kompleksnih brojeva, [[logaritam]] kompleksnog broja i dr.
 
Kompleksni brojevi oblikuju [[algebarsko zatvoreno polje]]. [[Polje]] kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa <math>i</math>, takvog da je <math>i^2=-1</math>.
 
[[Kategorija:Brojevi]]
29

uređivanja