Sinus: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
ispravak |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 20:
|napomene = Promjenjiva -{k}- je [[cijeli broj]].
}}
== Definicija ==
'''Sinus''' je [[trigonometrijska funkcija]]. Klasično, kutu ''α'' pridružujemo vrijednost ''sin(α)'' tako da nad danim kutom konstruiramo pravokutni trokut. Vrijednost ''sin(α)'' tada je jednaka kvocjentu (omjeru) nasuprotne katete i hipotenuze. No, kako je zbroj kutova u trokutu jednak 180°, jasno je da je takav pravokutni trokut moguće konstruirati samo nad šiljatim kutovima (kutovima manjim od 90°). Stoga se ovakva definicija sinusa može upotrijebiti jedino za kutove manje od 90°.
[[File:Unit circle.svg|Unit circle|left|thumb|Prikaz jedinične kružnice polumjera (radijusa) duljine 1. Varijablom ''t'' mjerimo veličinu kuta.]]
Naravno, takva definicija nije dovoljna, pa je za računanje vrijednosti sinusa kutova većih od 90° (ili manjih od 0°) potrebna općenitija definicija. Više je načina da se općenitije definira funkcija sinus, od definicije sinusa kao sume beskonačnog reda, do definicije funkcije sinusa kao rješenja određenih karakterističnih diferencijalnih jednadžbi.
No najčešći način šireg definiranja funkcije sinus jest onaj uz pomoć jedinične kružnice: u Kartezijevom koordinatnom sustavu nacrtamo jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu. Također, iz ishodišta povučemo pravac koji sa ''x''-osi zatvara kut (na slici označen s ''t''), te istaknemo točku u kojoj se taj pravac siječe s jediničnom kružnicom. Koordinate te točke daju nam vrijednosti dvije osnovne trigonometrijske funkcije; ''x'' koordinata jednaka je ''cos(t)'' (vrijednosti kosinusa), a ''y'' koordinata jednaka je ''sin(t)'' (vrijednosti sinusa). Na taj način definicija sinusa poopćena je za svaki kut.
Iz definicije je sada jasno da sinus (kao i kosinus) može poprimiti vrijednosti između -1 i 1, te da je definiran za sve realne brojeve. Stoga pišemo
:<math>sin : \mathbb{R} \to [-1,1]</math>
Također, jasno je da funkcija sinus nije [[bijekcija]]; kut α i kut α+2π (kut koji dobijemo kada kutu α nadodamo "puni krug") daju istu vrijednost za sinus i za kosinus, pa funkcija nije injekcija. Stoga, općenito ne postoji inverz fukcije sinus. No ukoliko se promotri restrikcija funkcije sinus, tj. ukoliko funkciju sinus promotrimo samo na jednom dijelu područja njene definicije, tada sinus postaje bijekcija, a odgovarajuću inverznu funkciju nazivamo ''arkus sinus'' i obilježavamo s ''arcsin''. Restrikcija funkcije sinus na kojoj je to moguće izvesti jest restrikcija na tzv. ''"glavnu granu"'', odnosno na funkciju
:<math> sin : [-\pi /2, \pi /2] \to [-1,1]</math>
== Vidi još ==
Line 31 ⟶ 46:
[[Kategorija:Trigonometrijske funkcije]]
| |||