Numerička analiza: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja |
|||
Redak 9:
<math> \int_a^b f(x) \, dx</math>.
Dvije osnovne metode numeričke integracije su proširena [[trapezna formula]] i proširena [[Simpsonova formula]]<ref>http://web.math.pmf.unizg.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf str. 478, pristupljeno: 20. rujna 2013.</ref>.
Kod proširene '''trapezne formule''', interval integracije [a,b] podijeli se u ''n'' podintervala uz slijedeću oznaku: a=x<sub>0</sub><x<sub>1</sub><...<x<sub>n</sub>=b. U svim se točkama razdiobe izračunaju vrijednosti podintegralne funkcije y<sub>i</sub>=f(x<sub>i</sub>), te se nad svakim podintegralom formira trapez spajanjem točaka T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) i T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>). Tim se trapezom, čija je površina jednaka P<sub>i</sub>=(x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>)(y<sub>i</sub>+y<sub>i+1</sub>)/2, aproksimira stvarna površina ispod funkcije ''f(x)'' na tom intervalu. Uz uobičajen postupak ekvidistantne razdiobe, tj razdiobe intervala na ''n'' jednakih podintervala (kod kojeg je x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>=(b-a)/n ), te zbrajanjem površina trapeza konstruiranih nad svim intervalima razdiobe dobivamo trapeznu formulu:
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx \, \approx \, \frac{b-a}{2n} \cdot(y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \ldots + 2y_{n-1} + y_n) </math>
Redak 17:
Ocjena greške ove numeričke aproksimacije dana je s:
:<math> E(f) = \frac{(b-a)^3}{12n^2} |f''(\xi)|,</math>
gdje je ξ neka vrijednost iz intervala [a,b].
Proširena '''Simpsonova formula''', kao i ''trapezna formula'' kreće sa razdiobom intervala ''[a,b]'' na ''n'' (ne nužno) jednakih podintervala. No ovoga puta se na svaka dva podintervala, odnosno kroz točke T<sub>i-1</sub>(x<sub>i-1</sub>,y<sub>i-1</sub>), T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) i T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>) povlači jedinstveno određena [[kvadratna funkcija]] (parabola). Zbog toga kod provođenja Simpsonove formule ''imamo dodatni zahtjev da je broj podintervala n paran''. Računanjem površina ispod tako kontruiranih parabola, te njihovim zbrajanjem dobivamo proširenu Simpsonovu formulu:
:<math>\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{b-a}{3n}\bigg[y_0+4y_1+2y_2+4y_3y+2y_4+\cdots+4y_{n-1}+y_n\bigg].</math>
Ocjena greške proširene Simpsonove formule dana je izrazom:
:<math>E(f) = \frac{(b-a)^5}{180 n^4} |f^{(4)}(\xi)|,</math>
gdje je ξ neka vrijednost iz intervala [a,b]. Kako u pravilu parabola bolje aprokisimira nasumične funkcije od pravca, Simpsonova formula u pravilu daje točniji rezultat od trapezne formule.
== Izvori ==
| |||