Numerička analiza: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
lektura |
|||
Redak 34:
U numeričku analizu spadaju i metode kojima se traži numeričko aproksimativno rješenje "''Cauchyjevog problema''"; [[Diferencijalne_jednadžbe|diferencijalne jednadžbe]] sa zadanim početnim uvjetom. Razvijene su metode za numeričko rješavanje običnih, ali i parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Dvije osnovne metode su ''Eulerova metoda'', i familija ''Runge-Kutta metoda''.
[[Image:Euler method.svg|right|thumb|Ilustracija Eulerove metode. Plavom bojom je označen graf rješenja diferencijalne jednadžbe, a crvenom bojom graf po dijelovima linearnih aproksimacija]]
'''Eulerova metoda ''' je iterativna metoda kojom se računa aproksimacija vrijednosti ''y(x<sub>1</sub>)'' uz poznatu (običnu) diferencijalnu jednadžbu oblika ''' y'=f(x,y) ''' i početni uvjet '''y(x<sub>0</sub>)=y<sub>0</sub>''' (tzv "''Cauchyjev problem''").
Metoda se provodi tako da se početni interval, [''x<sub>0</sub>,x<sub>1</sub>''] (dakle, interval od točke koja je zadana početnim uvjetom, do točke u kojoj želimo izračunati vrijednost funkcije) podijeli na ''n'' jednakih dijelova. Duljinu ''h=(x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>)/n'' zovemo ''korakom'' metode. Zadanom diferenncijalnom jednadžbom oblika '' y'=f(x,y) '' dano je tzv. ''polje smjerova'', odnosno, svakoj točki ravnine pomoću diferencijalne jednadžbe možemo pridružiti vrijednost nagiba tangente. Upravo će nam tangenta u svakoj točki predstavljati linearnu aproksimaciju rješenja diferencijalne jednadžbe. Pomakom za vrijednost koraka ''h'' po ''x''-osi dolazimo do slijedeće točke iterativne metode (na slici označene redom s ''A<sub>0</sub>'', ''A<sub>1</sub>'', ...). Postupak ponavljamo (iteriramo) dok vrijednost na ''x''-osi ne dosegne ''x<sub>1</sub>''. Provedemo li računski opisan postupak dobivamo iterativni algoritam:<ref>http://www.pbf.unizg.hr/hr/content/download/1940/14671/.../3/.../npm11.pdf Pristupljeno: 25. rujna 2013.</ref> <ref>http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat3/node161.html Pristupljeno: 25. rujna 2013.</ref>
:<math> x_{i+1} = x_i + h</math>
:<math> y_{i+1} = y_i + h \cdot f(x_i,y_i)</math>
Metoda se može provesti i nad koracima ''h<sub>i</sub>'' različite duljine, no tada u iterativnoj formuli umjesto konstantne vrijednosti ''h'' koristimo različite duljine koraka ''h<sub>i</sub>''. Lokalna greška metode proporcionalna je kvadratu koraka ''h''.
== Izvori ==
| |||