Problem dvaju tijela: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Otvorio Problem dvaju tijela |
Nastavio Problem dvaju tijela |
||
Redak 6:
[[Problem triju tijela]] u nebeskoj mehanici, za razliku od problema dvaju tijela, nema opće analitičko rješenje. Restringirani (ograničeni) oblik problema razmatra gibanje triju tijela, s time da je treće tijelo točkasto i bez mase. Za treće je tijelo [[Joseph-Louis Lagrange]] našao da može neporemećeno opstati u sustavu, na položaju 5 točaka u ravnini u kojoj se sva tijela gibaju ([[Lagrangeove točke]]). Potvrda je toga postojanje [[Trojanci (astronomija)|planetoida Trojanaca]], koji se nalaze na [[Jupiter]]ovoj stazi, 60° ispred i iza Jupitera, a slično se ponašaju i neki planetni sateliti. Kako u [[Sunčev sustav|Sunčevu sustavu]] ima mnogo tijela, ustanovljeno je da je staza svakoga tijela poremećena ostalim tijelima, i to tim jače što je tijelo manje mase. Zato su Keplerovi zakoni samo približni. Otkloni su maleni jedino zbog toga što su i mase svih tijela mnogo manje od Sunčeve. Nakon [[Isaac Newton|Isaaca Newtona]], nebeska mehanika razvijala se u matematičkoj obradbi poremećaja (perturbacija), kao otklona od [[matematika|matematičkoga]] rješenja problema dvaju tijela, što zapravo znači otklon od [[elipsa|elipse]]. Budući da su poremećaji mali, rabi se elipsa kojoj se parametri postupno mijenjaju; trenutačna se elipsa naziva oskulirajućom. [[Diferencijalne jednadžbe]] koje izražavaju vremenske promjene svih parametara elipse izveo je Joseph-Louis Lagrange (Lagrangeove planetarne jednadžbe); one su točne (egzaktne), ali mogu se riješiti jedino numerički, uzastopnim približenjima (sukcesivnim aproksimacijama), i to za ograničeno vremensko razdoblje. <ref> '''nebeska mehanika''', [http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=43187] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2014.</ref>
== Dva nebeska tijela nešto različitih masa ==
U najjednostavnijem slučaju dva se tijela gibaju koncentričnim [[kružnica]]ma. [[Centrifugalna i centripetalna sila|Centripetalno ubrzanje]] uzrokovano je [[gravitacija|gravitacijskom silom]]. [[Newtonov zakon gravitacije|Sila]] između masa ''M<sub>1</sub>'' i ''M<sub>2</sub>'' uzajamna je i jednaka:
::<math>F = G \frac{M_1 M_2}{r^2}\ </math>
[[Ubrzanje]] jednog tijela je:
::<math>g_1 = G \frac{M_2}{r^2}\ </math>
a ubrzanje drugog tijela je:
::<math>g_2 = G \frac{M_1}{r^2}\ </math>
Svako pojedino ubrzanje određeno je masom onog drugog tijela. Sila između tijela je stalna i oba su ubrzanja stalna ako je razmak tijela ''r'' stalan, što je ispunjeno kod koncentričnih kružnih staza, pa je tada i [[brzina]] svakog tijela stalna. Tijela u jednako vrijeme obiđu svako po svojoj kružnici. Kada toga ne bi bilo, jednom bi se tijela susrela na bližim dijelovima staza, drugi put na udaljenijim, pa ni sila ne bi bila stalna. Zato se tijela moraju uvijek nalaziti na dijametralno suprotnim točkama svojih staza i zbroj polumjera staza jednak je razmaku tijela:
::<math>r_1 + r_2 = r </math>
A kako tijela obiđu staze u isto vrijeme, [[Ophodno vrijeme|ophodne brzine]] su u istom odnosu u kojemu su [[opseg|opsezi]] ili [[polumjer]]i staza:
::<math>\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_1}{r_2} </math>
Izjednačimo centripetalna ubrzanja za svako tijelo s ubrzanjem gravitacijske sile, no tako da brzinu izrazimo polumjerom i [[period]]om ophoda staze ''P'':
::<math>g_1 = \frac{v_1^2}{r_1}\ = \frac{4 \pi^2 r_1}{P^2}\ = \frac{G M_2}{r^2}\ </math>
::<math>g_2 = \frac{v_2^2}{r_2}\ = \frac{4 \pi^2 r_2}{P^2}\ = \frac{G M_1}{r^2}\ </math>
Omjer desnih jednakosti iskazuje veoma važnu činjenicu:
::<math>\frac{r_1}{r_2} = \frac{M_2}{M_1} </math>
Razmak tijela od zajedničkog centra kruženja obrnuto je razmjeran masama tih tijela. To je svojstvo koje pokazuje centar mase ili težište nekog sustava masa. Kada se neko složeno tijelo nalazi u gravitacijskom polju, gibanje tog tijela kao cjeline odvija se kao da je sva masa postavljena u centar mase. U slučaju svemirskog sustava sastavljenog od dvaju tijela njihov će zajednički centar mase ili mirovati, ili će se gibati jednoliko po pravcu (ako na nj ne djeluju sile drugih nebeskih tijela). Sama pak tijela obilazit će oko centra mase. Spojnica dvaju tijela uvijek prelazi preko centra mase i ubrzanje je usmjereno prema njemu. Lako se je osvjedočiti da će s povećanjem jedne mase na račun druge, centar mase stremiti prema većoj masi. Ubrzanje prvog tijela postaje beznačajno ako je masa drugog tijela zanemariva prema masi prvog tijela. To je bilo približenje (aproksimacija) učinjeno u problemu jednog tijela. Tada se prvo tijelo, kao da je beskonačne mase, nalazilo u središtu kruženja. Tako smo Sunce zamišljali u središtu kruženja planeta, a planete u središtu kruženja njihovih satelita.
Zbog relativno velike Mjesečeve mase, Zemlja ne obilazi oko Sunca po elipsi. Oko Sunca po elipsi ustvari putuje baricentar (centar mase) sustava Zemlja - Mjesec, a ne centar Zemlje. Ni Mjesečeva staza oko Sunca nije elipsa, no Mjesec na stazi nikada ne čini petlje (iako tako crtamo na malim crtežima); štoviše, staza mu nikada nije izbočena (konveksna) prema Suncu.
Ako zvijezda ima tamnog pratioca (planet velike mase), tada se u vlastitom gibanju zvijezde mora javiti utjecaj tog pratioca. Put zvijezde krivudat će oko linije kojom se giba centar mase (baricentar).
== Izvori ==
{{izvori}}
| |||