Razlika između inačica stranice »Divergencija polja«

Dodano 185 bajtova ,  prije 6 godina
typog
m (Bot: brisanje 39 međuwiki poveznica premještenih u stranicu d:q189000 na Wikidati)
(typog)
Pustimo li sada da se taj obujem smanjuje tako da <math>V\mapsto 0</math>, dobivamo [[limes|graničnu vrijednost]] za točno određenu točku. Upravo taj izraz nazivamo '''divergencijom vektorskog polja''':
 
:<math>\textrmoperatorname{div}\overrightarrow{W} \; \stackrel{\text{def.}}{=}\lim_{V\mapsto0}\frac{\int\overrightarrow{W}
\cdot d \vec{S}}{V} = \lim_{\Delta V\mapsto0} \frac{\int\overrightarrow{W} \cdot d \vec{S}}{\Delta V}.</math>
 
Isto tako, vidimo da je divergencija definirana bez ikakvog [[koordinatni sustav|koordinatnog sustava]]. Dakle, divergencija je '''[[invarijanta polja]]'''. Stoga, nije važno polazi li [[radij-vektor]] iz ishodišta koordinatnog sustava ili ne, jer divergencija ne zavisi o koordinatnom sustavu.
 
Točke prostora gdje je <math>\mboxoperatorname{div} \overrightarrow{W} > 0</math> nazivamo '''izvorima''', a točke gdje je <math>\mboxoperatorname{div} \overrightarrow{W} < 0</math> nazivamo '''ponorima'''.
[[Datoteka:Divergencija pravokutni.png|desno|mini|400px|Shematski prikaz uz izvod za divergenciju u pravokutnom koordinatnom sustavu]]
 
koordinatama <math>(x_0, y_0, z_0)</math>:
 
:<math>{\int\limits_S \overrightarrow{W} \cdot d
\vec{S}=\int\limits_{S_1} \overrightarrow{W_1} \cdot d
\overrightarrow{S_1}+\int\limits_{S_2} \overrightarrow{W_2} \cdot
\overrightarrow{S_4}+\int\limits_{S_5} \overrightarrow{W_5} \cdot
d \overrightarrow{S_5}+ \int\limits_{S_6} \overrightarrow{W_6}
\cdot d \overrightarrow{S_6}}=</math>
 
:<math>=\int\limits_{S_1} \overrightarrow{W}(x_0,y,z) \cdot
z)-W_z(x,y,z_0)\Bigr]dxdy=</math>
 
:<math>{=\frac{\partial W_x(x_0,y_0,z_0)}{\partial x} \cdot \Delta
x\Delta y\Delta z + \frac{\partial W_y(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}
\cdot \Delta x\Delta y\Delta z + \frac{\partial
W_z(x_0,y_0,z_0)}{\partial z} \cdot \Delta x\Delta y\Delta
z=}</math>
 
:<math> =\biggl(\frac{\partial W_x}{\partial x}+\frac{\partial
Sada to uvrstimo u već poznati izraz za divergenciju:
 
:<math>\textrmoperatorname{div}\overrightarrow{W}(\vec{r})=\lim_{\Delta V
\mapsto 0} \frac{\int\limits_{\Delta V}\overrightarrow{W}\cdot
d\vec{S}}{\Delta V}= \frac{\Bigl(\frac{\partial W_x}{\partial
z}\Bigr) \cdot \Delta V}{\Delta V}</math>
 
:<math> \textrmoperatorname{div}\overrightarrow{W}(\vec{r})=\frac{\partial
W_x}{\partial x}+\frac{\partial W_y}{\partial y}+\frac{\partial
W_z}{\partial z}.</math>
simbolički pisati pomoću [[Hamilton|Hamiltonova]] operatora '''[[nabla]]''':
 
:<math>\textrmoperatorname{div}\overrightarrow{W}(\vec{r})=\vec{\nabla} \cdot
\overrightarrow{W}=\Biglleft(\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} +
\hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z}
\frac{\partial}{\partial z} \Bigrright)(W_x \cdot \hat{x} + W_y \cdot
\hat{y} + W_z \cdot \hat{z})= \frac{\partial W_x}{\partial
x}+\frac{\partial W_y}{\partial y}+\frac{\partial W_z}{\partial
== Gaussov teorem ==
Za divergenciju vrijedi [[Gaussov teorem]]:
:<math>\int\limits_S \overrightarrow{W} \cdot d \vec{S} = \int\limits_V \textrmoperatorname{div} \overrightarrow{W} dV.</math>
 
== Divergencija u drugim koordinatnim sustavima ==
* u [[Cilindrični koordnatni sustav|cilindričnom]]:
:<math>\mboxoperatorname{div} \overrightarrow{W} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho}(\rho W_{\rho})+\frac{1}{\rho}\frac{\partial W_{\varphi}}{\partial \varphi}+\frac{\partial W_z}{\partial z};</math>
 
* u [[Sferni koordinatni sustav|sfernom]]:
:<math>\mboxoperatorname{div} \overrightarrow{W} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2W_r)+\frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} (W_{\vartheta} \sin \vartheta) + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial W_{\varphi}}{\partial \varphi}.</math>
 
== Divergencija i algebarske operacije ==
<math>f(U)</math> i [[radij-vektor]] <math>\vec{r}</math>. Tada
vrijedi:
# <math>\textrmoperatorname{div}(\vec{u} + \vec{v}) = \textrmoperatorname{div}\vec{u} + \textrmoperatorname{div}\vec{v}</math>
# <math>\textrmoperatorname{div}(U \cdot \vec{v}) = U \cdot
\textrmoperatorname{div}\vec{v}+\vec{v} \cdot \mboxoperatorname{grad}U</math>
# <math>\textrmoperatorname{div}[f(U) \cdot \vec{v}]=f(U)\cdot
\textrmoperatorname{div}\vec{v} + \vec{v}\cdot f_U^{'}(U)\cdot \textrmoperatorname{grad}
U</math>
# <math>\textrmoperatorname{div}\vec{r}=3.</math>
 
== Primjer ==
\varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r}</math>
iznosi
:<math>{\mboxoperatorname{div} \overrightarrow{E} = \mboxoperatorname{div} \Biglleft(\frac{1}{4
\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r} \Bigrright)
\stackrel{(2.)}{=}\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \cdot
\mboxoperatorname{div}\vec{r} +\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\vec{r} \cdot
\mboxoperatorname{grad} \frac{1}{r^3} \stackrel{(4.)}{=}\frac{3q}{4 \pi
\varepsilon_0 r^3}+\frac{3q}{4 \pi \varepsilon_0}
\vec{r}\frac{(-1)}{r^5}\vec{r}=0.}</math>
 
Ovdje smo gledali polje u bilo kojoj točki prostora, a ne u
28

uređivanja