Kubna funkcija: razlika između inačica

Dodano 2.798 bajtova ,  prije 6 godina
clanak je djelomično upotpunjen i dopunjen; nepreciznosti i netočnosti su uklonjene; i ovo je nepotpuno, i kako vidim, tehnički loše izvedeno
No edit summary
(clanak je djelomično upotpunjen i dopunjen; nepreciznosti i netočnosti su uklonjene; i ovo je nepotpuno, i kako vidim, tehnički loše izvedeno)
'''Kubna funkcija''' u matematici je svaka [[funkcija]] oblika:
<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \,</math>,
gdje je ''a'' različito od nule. Pripadna jednadžba ''f''''(x)''=''0'' je [[kubna jednadžba]]. U pravilu, a naročito u nastavi matematike u srednjoj školi, misli se na [[realna funkcija|realnu funkciju]] [[varijabla|realne varijable]] , što znači da su [[koeficijent|koeficijenti]] ''a'',''b'',''c'',''d'' realni brojevi, a vrijednosti varijable ''x'' realne. Od sada se, ukoliko izrijekom ne bude rečeno drukčije, razmatraju samo takve funkcije.
gdje je ''a'' različito od nule.
 
==Karakteristične vrijednosti kubne funkcije ==
Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u [[koordinatni sustav|koordinatnom sustavu]] na grafu funkcije predočavaju, na primjer, [[nultočka|nultočke]] funkcije ili njene ekstreme (slika desno).
===Nultočke kubne funkcije===
Kubna funkcija može imati tri nultočke, dvije nultočke od kojih je jedna dvostruka, jednu trostruku nultočku ili jednu (jednostruku) nultočku. Misli se na realne nultočke , a ako se dopuste i kompleksne, onda u posljednjem slučaju, uz rečenu realnu, postoje još i dvije kompleksno-konjugirane. Dakle, uvijek postoji bar jedna realna nultočka. Geometrijski, nultočke se očitavaju iz grafa funkcije: to su prve koordinate točaka u kojima graf funkcije siječe (odnosno dira) ''x''-os. Tako za funkciju <math> f(x):= x^3 +3x^2 - 6x - 8 \, </math> nultočke su redom brojevi -4,1,2, što se vidi i iz grafa koji siječe ''x''-os redom u točkama (-4,0),(-1,0),(2,0). Sve se očituje i na rastavu funkcije ''f'' na faktore: <math> x^3 +3x^2 - 6x - 8 =(x+4)(x+1)(x-2)\, </math>. Drugu mogućnost ilustrira funkcija <math> f(x):= x^3 -2x^2 +x =x(x-1)^2 \, </math>. Tu je 0 jednostruka, a 1 dvostruka nultočka. U koordinatnom sustavu to se očituje tako što graf siječe ''x''-os u točki (0,0),a dodiruje je u točki (1,0) gdje je nultočka dvostruka. Funkcija kubiranja <math> f(x):= x^3 \, </math> kojoj je 0 trostruka nultočka, najjednostavniji je primjer treće mogućnosti. Konačno, posljednju mogućnost ilustrira funkcija <math> f(x):= x^3 +x=x(x^2+1)=x(x+i)(x-i) \, </math> . Vidi se da je 0 jedina (realna) nultočka, dok su ''-i'',''i'' kompleksno-konjugirane.
U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći [[nultočka|nultočke]] funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kubne jednadžbe:
:<math> x^3 +3x^2 - 6x - 8=0 \, </math>
rješenja koje su :
:<math> x_1=-4, x_2=-1, x_3=2 \, </math>
Točke (-4, 0), (-1, 0) i (2, 0 ) predstavljaju zato nultočke grafa kubne funkcije sa slike.
 
Ukoliko općenito graf funkcije siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, u tri točke, tada će [[nultočka|nultočke]] funkcije biti [[realni broj]]evi jer su i rješenja kubne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije siječe x-os samo u jednoj točki, tada će kubna jednadžba imati jedno realno rješenje dok će se dva rješenja nalaziti u domeni [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]] i to kao konjugirano-kompleksni par brojeva.
 
===Ekstremi kubne funkcije i prijevojna točka===
[[kritična točka (matematika)|Kritične točke]] funkcije jesu one (realne) vrijednosti od ''x'' za koje je prva [[derivacija (matematika)|derivacija]] jednaka nuli. Kako je ''f'''(''x'')= 3''ax''<sup>2</sup>+2''bx''+''c'' [[kvadratna funkcija]] kojoj je [[diskriminanta]] <math> 2\sqrt{b^2-3ac}\, </math> , kubna funkcija ima dva [[lokalni ekstrem| lokalna ekstrema]] ( [[lokalni minimum]] i [[lokalni maksimum]]) ako je <math> b^2-3ac >0 \, </math>. Ako je pak <math> b^2-3ac \leq 0 </math>, onda je funkcija strogo monotona. Tada funkcija ima jednu kritičnu točku ako je <math> b^2-3ac =0 </math>, dok za <math> b^2-3ac <0 </math> nema ni jednu.
Kubna funkcija ima dva ekstrema (ako nije monotona), jedan minimum i jedan maksimum funkcije. Za funkciju
 
[[Prijevojna točka]] (točka infleksije) funkcije jest ona vrijednost od ''x'' za koju je druga derivacija jednaka nuli. Kako je ''f''''(''x'')=6''ax''+2''b'', kubna funkcija ima jedinstvenu prijevojnu točku i to <math> x_0=-\frac{b}{3a} \, </math>, koja je ujedno i kritična ako je <math> b^2-3ac>=0 \, </math>, inače nije. Graf kubne funkcije uvijek se sastoji od konveksnog i konkavnog dijela, koji se sastaju u prijevojnoj točki. Ako je ''a'' pozitivan prvo dolazi konkavni, a ako je negativan, konveksni dio.
:<math> y= x^3 +3x^2 - 6x - 8\, </math>
točke ekstrema funkcije nalazimo diferencirajući gornju jednadkost:
 
:<math> dy=3x^2dx +6xdx -6dx \, </math>
 
odakle slijedi da je
 
:<math> dy=(3x^2+6x-6)dx \, </math>
 
:<math> y' = \frac{dy}{dx}=3x^2+6x-6 = x^2+2x-2. \, </math>
 
==Primjena kubne funkcije ==
Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0, gdje na temelju rješenja [[kvadratna jednadžba|kvadratne jednadžbe]] zaključujemo da će kubna funkcija imati ekstreme u točkama
Kubne funkcije, makar jednostavne, obiluju raznim svojstvima: nultočke, lokalni ekstremi, prijevojne točke, sve kombinacije rasta, pada, konveksnosti i konkavnosti. Zato su pogodne za modeliranje promjene neke veličine u vremenu, ili, općenito, veze među dvjema veličinama, naročito pomoću [[kubni spline|kubnog splinea]].
:<math> x_{1,2} =-1\pm \sqrt3 . \, </math>
 
O vrsti ekstrema (maksimum ili minumum funkcije) zaključuje se iz druge derivacije funkcije.
==Veza s kubnim polinomom ==
Obično se smatra da između kubne funkcije i kubnog polinoma nema nikakve razlike. Strogo matematički gledano, to nije tako. Osim zadavanja pravila prema kojemu djeluje, za funkciju je potrebno naznačiti [[područje definicije]] i [[područje vrijednosti]], dok se polinom zadaje koeficijentima i naznačavanjem područja kojemu koeficijenti pripadaju (u pravilu neki [[komutativni prsten]]). Ostatci 0,1,2 pri dijeljenju s 3 čine [[polje]] s obzirom na zbrajanje i množenje modulo 3. Izrazima <math> f(x)=x^3+2x \, </math> i <math> f(x)=2x^3+x \, </math> zadana su dva različita polinoma nad tim poljem (jer su koeficijenti različiti). Također, zadane su i dvije funkcije kojima su i područje definicije i skup vrijednosti to polje. Te su dvije funkcije jednake ( sve su im vrijednosti jednake nuli). Dakle različiti polinomi, ali jednake funkcije.
 
 
==Literatura==