Kubna funkcija: razlika između inačica

Dodano 1.145 bajtova ,  prije 6 godina
članak proširen kompleksnim kubnim funkcijama; izvori će biti dodani naknadno
No edit summary
(članak proširen kompleksnim kubnim funkcijama; izvori će biti dodani naknadno)
 
== Kompleksna kubna funkcija ==
Ako sesu u (1) koeficijenti ''a'',''b'',''c'',''d'' i vrijednosti varijable ''x'' kompleksni brojevi (tada se varijabla obično označava kao ''z''), onda su i vrijednosti funkcije kompleksni brojevi pa je ''f'' [[kompleksna funkcija]] kompleksne varijable, tj. <math> f\colon \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}</math>. Ona je analitička na cijeloj [[kompleksna ravnina|kompleksnoj ravnini]] ([[cijela funkcija]]). Kompleksna kubna funkcija ima tri različite nultočke, dvije različite (od kojih je jedna dvostruka) ili jednu trostruku nultočku. Računajući kratnosti, svaka kompleksna kubna funkcija ima tri nultočke.
 
S obzirom na kritične vrijednosti ove se funkcije dijele na dvije skupine,već prema tome koliko njihova derivacija (koja je [[kvadratna funkcija]]) ima nultočaka. U prvoj su, općoj, one koje imaju dvije kritične točke, a to su upravo one za koje ''f' '' ima dvije različite nultočke. One imaju dvije kritične vrijednosti (jer su vrijednosti kubne funkcije u različitim kritičnim točkama nužno različite). U drugoj su, posebnoj skupini, one koje imaju jednu kritičnu točku, a to su one ''f'' kojima derivacija ''f' '' ima dvostruku nultočku. One imaju jednu kritičnu vrijednost (vrijednost funkcije u kritičnoj točki). Svaka takva funkcija oblika je <math> f(z)=a(z-z_0)^3+f(z_0)\ ,z_0</math> joj je kritična točka, a <math> f(z_0) </math> kritična vrijednost. Ona se linearnim transformacijama može svesti na čistu treću potenciju <math>f(z):=z^3</math>. Opće kubne funkcije, one iz prve skupine, linearnim transformacijama mogu se svesti na jednu izabranu, primjerice na <math>f(z):=4z^3-3z</math> ([[Čebiševljev polinom]] prve vrste, trećeg stupnja).
Svaka takva funkcija oblika je <math> f(z)=a(z-z_0)^3+f(z_0)\ ,z_0</math> joj je kritična točka, a <math> f(z_0) </math> kritična vrijednost. U drugoj su skupini one koje imaju dvije kritične točke, a to su upravo one za koje ''f' '' ima dvije različite nultočke. One imaju dvije kritične vrijednosti (jer su vrijednosti kubne funkcije u različitim kritičnim točkama nužno različite).
 
Kritične vrijednosti u ovakvim okolnostima imaju posebno značenje i posebno ime: [[razgranište|razgraništa]] ili [[točka grananja|točke grananja]] preslikavanja ''f''. Ako se kompleksna varijabla slike označi kao ''w'', onda se ovo preslikavanje može zapisati i kao jednadžba <math> f(z)=w</math>. Ta jednadžba za svaki ''w'' koji nije točka grananja ima tri različita rješenja kao jednadžba s nepoznanicom ''z''. Tako je preslikavanje ''f'' [[razgranato natkrivanje]] kompleksne ravnine stupnja 3. S obzirom na točke grananja kompleksne kubne funkcije dijele se u dvije skupine, one koje imaju dvije i one koje imaju jednu točku grananja.
 
=== Kubna funkcija kao preslikavnje proširene kompleksne ravnine ===
 
Kubna je funkcija [[meromorfna funkcija]] na [[Proširena kompleksna ravnina| proširenoj kompleksnoj ravnini]] <math> \mathbb{C}\cup\{\infty\}</math> ([[Riemannova sfera| Riemannovoj sferi]]) - ima [[pol]] trećeg reda u [[beskonačnost]]i. Razmatrana kao funkcije s Riemannove sfere na Riemannovu sferu, ona je holomorfna (analitička je i oko beskonačnosti). Drugim riječima, kompleksna kubna funkcija definira razgranato natkrivanje trećeg stupnja s Riemannove sfere na Riemannovu sferu. Beskonačnost je točka grananja tog natkrivanja koje općenito ima tri, iznimno dvije točke grananja (uključujući rečenu točku grananja u beskonačnosti).
 
==Literatura==