Kubna funkcija: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
dopunjeno poglavlje o kompleksnoj kubnoj funkciji; dodana i sređena literatura |
tekst je dodatno sređen; u primjer o ekstremima uključen je račun iz verzije od 24.9.2013, koji je privremeno bio isključen. |
||
Redak 5:
==Karakteristične vrijednosti kubne funkcije ==
[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|300px||<center><math>f(x) = x^3 +3x^2 - 6x - 8\, \!</math><center> ]]
Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u [[koordinatni sustav|koordinatnom sustavu]] na [[graf funkcije|grafu funkcije]] predočavaju
===Nultočke kubne funkcije===
Kubna funkcija može imati tri nultočke, dvije nultočke od kojih je jedna dvostruka, jednu trostruku nultočku ili jednu (jednostruku) nultočku. Misli se na realne nultočke , a ako se dopuste i kompleksne, onda u posljednjem slučaju, uz rečenu realnu, postoje još i dvije kompleksno-konjugirane. Dakle, uvijek postoji bar jedna realna nultočka. Geometrijski, nultočke se očitavaju iz grafa funkcije: to su prve koordinate točaka u kojima graf funkcije siječe (odnosno dira) ''x''-os. Tako za funkciju <math> f(x):= x^3 +3x^2 - 6x - 8 \, </math> nultočke su redom brojevi -4,1,2, što se vidi i iz grafa koji siječe ''x''-os redom u točkama (-4,0),(-1,0),(2,0). Sve se očituje i na rastavu funkcije ''f'' na faktore: <math> x^3 +3x^2 - 6x - 8 =(x+4)(x+1)(x-2)\, </math>. Drugu mogućnost ilustrira funkcija <math> f(x):= x^3 -2x^2 +x =x(x-1)^2 \, </math>. Tu je 0 jednostruka, a 1 dvostruka nultočka. U koordinatnom sustavu to se očituje tako što graf siječe ''x''-os u točki (0,0),a dodiruje je u točki (1,0) gdje je nultočka dvostruka. Funkcija kubiranja <math> f(x):= x^3 \, </math> kojoj je 0 trostruka nultočka, najjednostavniji je primjer treće mogućnosti. Konačno, posljednju mogućnost ilustrira funkcija <math> f(x):= x^3 +x=x(x^2+1)=x(x+i)(x-i) \, </math> . Vidi se da je 0 jedina (realna) nultočka, dok su ''-i'',''i'' kompleksno-konjugirane.
Redak 13:
[[kritična točka (matematika)|Kritične točke]] funkcije jesu one (realne) vrijednosti od ''x'' za koje je prva [[derivacija (matematika)|derivacija]] jednaka nuli <ref>Sanja Antoliš, Aneta Copić, Matematika 4, Školska knjiga, Zagreb, 2006</ref>.
Kako je ''f'''(''x'')= 3''ax''<sup>2</sup>+2''bx''+''c'' [[kvadratna funkcija]] kojoj je [[diskriminanta]] <math> 2\sqrt{b^2-3ac}\, </math> , kubna funkcija ima dva [[lokalni ekstrem| lokalna ekstrema]] ( [[lokalni minimum]] i [[lokalni maksimum]]) ako je <math> b^2-3ac >0 \, </math>. Ako je pak <math> b^2-3ac \leq 0 </math>, onda je funkcija strogo monotona. Tada funkcija ima jednu kritičnu točku ako je <math> b^2-3ac =0 </math>, dok za <math> b^2-3ac <0 </math> nema ni jednu.
[[Prijevojna točka]] (točka infleksije) funkcije
<math>f'(x)=3x^2+6x-6</math> dok je <math>f''(x)=6x+6</math>. Rješavajući pripadne jednadžbe dobije se da su lokalni ekstremi u <math>x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3}</math>, dok je prijevojna točka za <math>x_0=-1</math> u (-1,0), što se može nazrijeti i iz grafa. Iz grafa se nazire i da je u
▲[[Prijevojna točka]] (točka infleksije) funkcije jest ona vrijednost od ''x'' za koju je druga derivacija jednaka nuli. Kako je ''f''''(''x'')=6''ax''+2''b'', kubna funkcija ima jedinstvenu prijevojnu točku i to <math> x_0=-\frac{b}{3a} \, </math>, koja je ujedno i kritična ako je <math> b^2-3ac=0 \, </math>, inače nije. Graf kubne funkcije uvijek se sastoji od konveksnog i konkavnog dijela, koji se sastaju u prijevojnoj točki. Ako je ''a'' pozitivan prvo dolazi konkavni, a ako je negativan, konveksni dio.
<math>-1-\sqrt{3}</math> lokalni maksimum, dok je za <math>-1+\sqrt{3}</math> lokalni minimum. To se može potvrditi i pomoću predznaka druge derivacije.
==Primjena kubne funkcije ==
Line 31 ⟶ 32:
=== Kubna funkcija kao preslikavnje proširene kompleksne ravnine ===
Kubna je funkcija [[meromorfna funkcija]] na [[Proširena kompleksna ravnina| proširenoj kompleksnoj ravnini]]<ref>Hrvoje Kraljević, Odabrana poglavlja teorije analitičkih funkcija, Riemannove plohe, http://web.math.pmf.unizg.hr/~hrk/nastava/2011-12/an_funk_2011_12.pdf</ref> <math> \mathbb{C}\cup\{\infty\}</math> ([[Riemannova sfera| Riemannovoj sferi]]) - ima [[pol]] trećeg reda u [[beskonačnost]]i. Razmatrana kao funkcije s Riemannove sfere na Riemannovu sferu, tako de se definira da je <math>f(\infty)=\infty</math>, ona je holomorfna (analitička je i oko beskonačnosti). Drugim riječima, kompleksna kubna funkcija definira razgranato natkrivanje trećeg stupnja s Riemannove sfere na Riemannovu sferu. Beskonačnost (<math>\infty</math>) je točka grananja tog natkrivanja koje općenito ima tri, iznimno dvije točke grananja (uključujući rečenu točku grananja u beskonačnosti). Općenito, [[grupa monodromije]] izomorfna je [[simetrična grupa|simetričnoj grupi]] <math>\mathbb{S}_3</math>, a
| |||