Kubna funkcija: razlika između inačica

Dodana 54 bajta ,  prije 6 godina
sitne korekcije; dodana i sređena literatura
(tekst je dodatno sređen; u primjer o ekstremima uključen je račun iz verzije od 24.9.2013, koji je privremeno bio isključen.)
(sitne korekcije; dodana i sređena literatura)
 
==Primjena kubne funkcije ==
Kubne funkcije, makar jednostavne, obiluju raznim svojstvima: nultočke, lokalni ekstremi, prijevojne točke, sve kombinacije rasta, pada, konveksnosti i konkavnosti. Zato su pogodne za modeliranje promjene neke veličine u vremenu, ili, općenito, veze među dvjema veličinama, naročito pomoću [[kubni spline|kubnog splinea]] <ref> Doron Levy, Introduction to Numerical Analysis, http://www.math.umd.edu/~dlevy/books/na.pdf</ref>.
 
==Veza s kubnim polinomom ==
 
== Kompleksna kubna funkcija ==
Ako su u (1) koeficijenti ''a'',''b'',''c'',''d'' i vrijednosti varijable ''x'' kompleksni brojevi (tada se varijabla obično označava kao ''z''), onda su i vrijednosti funkcije kompleksni brojevi pa je ''f'' [[kompleksna funkcija]] kompleksne varijable, tj. <math> f\colon \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}</math>. Ona je analitička na cijeloj [[kompleksna ravnina|kompleksnoj ravnini]] ([[cijela funkcija]])<ref>Šime Ungar, Kompleksna analiza,http://web.math.pmf.unizg.hr/~ungar/kompleksna.pdf</ref> <ref name="Hrk">Hrvoje Kraljević, Odabrana poglavlja teorije analitičkih funkcija, Riemannove plohe, http://web.math.pmf.unizg.hr/~hrk/nastava/2011-12/an_funk_2011_12.pdf</ref>. Kompleksna kubna funkcija ima tri različite nultočke, dvije različite (od kojih je jedna dvostruka) ili jednu trostruku nultočku. Računajući kratnosti, svaka kompleksna kubna funkcija ima tri nultočke.
 
S obzirom na kritične vrijednosti ove se funkcije dijele na dvije skupine,već prema tome koliko njihova derivacija (koja je [[kvadratna funkcija]]) ima nultočaka. U prvoj su, općoj, one koje imaju dvije kritične točke, a to su upravo one za koje ''f' '' ima dvije različite nultočke. One imaju dvije kritične vrijednosti (jer su vrijednosti kubne funkcije u različitim kritičnim točkama nužno različite). U drugoj su, posebnoj skupini, one koje imaju jednu kritičnu točku, a to su one ''f'' kojima derivacija ''f' '' ima dvostruku nultočku. One imaju jednu kritičnu vrijednost (vrijednost funkcije u kritičnoj točki). Svaka takva funkcija oblika je <math> f(z)=a(z-z_0)^3+f(z_0)\ ,z_0</math> joj je kritična točka, a <math> f(z_0) </math> kritična vrijednost. Ona se linearnim transformacijama može svesti na čistu treću potenciju <math>f(z):=z^3</math>. Opće kubne funkcije, one iz prve skupine, linearnim transformacijama mogu se svesti na jednu izabranu, primjerice na <math>f(z):=4z^3-3z</math> ([[Čebiševljev polinom]] prve vrste, trećeg stupnja).
 
Kritične vrijednosti u ovakvim okolnostima imaju posebno značenje i posebno ime: [[razgranište|razgraništa]] ili [[točka grananja|točke grananja]] preslikavanja ''f'' (odnosno inverzne funkcije od ''f'' kao [[višeznačna funkcija|višeznačne funkcije]]). Ako se kompleksna varijabla slike označi kao ''w'', onda se ovo preslikavanje može zapisati i kao jednadžba <math> ''f''(''z'')=''w</math>''. Ta jednadžba za svaki ''w'' koji nije točka grananja ima tri različita rješenja kao jednadžba s nepoznanicom ''z''. Tako je preslikavanje ''f'' [[razgranato natkrivanje]] kompleksne ravnine stupnja 3. S obzirom na točke grananja, kompleksne kubne funkcije dijele se u dvije skupine, one koje imaju dvije i one koje imaju jednu točku grananja.
 
=== Kubna funkcija kao preslikavnje proširene kompleksne ravnine ===
 
Kubna je funkcija [[meromorfna funkcija]] na [[Proširena kompleksna ravnina| proširenoj kompleksnoj ravnini]] <ref>Hrvoje Kraljević, Odabrana poglavlja teorije analitičkih funkcija, Riemannove plohe, http:name="Hrk"//web.math.pmf.unizg.hr/~hrk/nastava/2011-12/an_funk_2011_12.pdf</ref> <math> \mathbb{C}\cup\{\infty\}</math> ([[Riemannova sfera| Riemannovoj sferi]]) - ima [[pol]] trećeg reda u [[beskonačnost]]i. Razmatrana kao funkcije s Riemannove sfere na Riemannovu sferu, tako de se definira da je <math>f(\infty)=\infty</math>, ona je holomorfna (analitička je i oko beskonačnosti). Drugim riječima, kompleksna kubna funkcija definira razgranato natkrivanje trećeg stupnja s Riemannove sfere na Riemannovu sferu. Beskonačnost (<math>\infty</math>) je točka grananja tog natkrivanja koje općenito ima tri, iznimno dvije točke grananja (uključujući rečenu točku grananja u beskonačnosti). Općenito, [[grupa monodromije]] izomorfna je [[simetrična grupa|simetričnoj grupi]] <math>\mathbb{S}_3</math>, a iznimno, [[ciklička grupa|cikličkoj grupi]] trećeg reda <ref>Rick Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol 5</ref>.