Razlika između inačica stranice »Kubna jednadžba«

Dodano 2.465 bajtova ,  prije 5 godina
dodana cardanova formula
(upotpunjena i pojašnjena cjelina o rješenjima, napose o diskriminanti)
(dodana cardanova formula)
* ako je Δ = 0, rješenja su realna i bar dva su međusobno jednaka (dvostruko ili trostruko rješenje).
Tako nešto općenito nema smisla za jednadžbe s kompleksnim koeficijentima.
 
===Cardanova formula ===
 
Kubna jednadžba [[rješivost u radikalima|rješiva je u radikalima]]. To vrijedi za jednadžbu s koeficijentima u bilo kojem polju (uz uvjet da mu je [[karakteristika]] različita od 2 i od 3). Tada se jednadžba pogodnom linearnom zamjenom može svesti na jednostavniji oblik <math>x^3+px+q=0. </math>
Rješenja te jednadžbe mogu se zapisati tzv. [[Cardano]]vom formulom
:<math>x=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}},}</math>
iz koje se razaznaje da se rješenja mogu predočiti u zavisnosti od koeficijenata koristeći se osnovnim računskim operacijama i drugim i trećim korijenima. Nazivnici zorno pokazuju da formula nema smisla ako je karakteristika polja 2 ili 3. Općenito, a napose unutar kompleksnih brojeva, drugi korijen ima dvije vrijednosti, a treći tri (samo za realne brojeve, prema dogovoru, korjenovanje je jednoznačna operacija). Zato svaki od pribrojnika u formuli ima općenito šest vrijednosti. Ako se za drugi korijen izabere jedna od dviju vrijednosti (što je dopustivo jer su u pribrojnicima pred njima različiti predznaci, a ispod drugih korijena nema razlike), onda svaki od pribrojnika općenito ima po trivrijednosti, pa bi zbroj općenito imao devet vrijednosti. Zato ovu formulu treba protumačiti tako da ona daje tri vrijednosti (računajuići kratnosti u posebnim slučajevima) <ref>Ivica Gusić, Zašto su uvedeni kompleksni brojevi, math.e, Broj 1, veljača 2004, http://e.math.hr/old/povmat/pov1.html</ref> To se postiže tako da se za svaku od triju vrijednosti za ''u'' za vrijednost od ''v'' uzme <math>-\frac{p}{3u}</math>. Na primjer, za jednadžbu <math>x^3-3x=0</math>, lako se vidi da su rješenja brojevi <math>0,-\sqrt{3}, \sqrt{3}</math>, dok Cardanova formula daje <math>x=u+v=\sqrt[3]{\sqrt{-1}}+ \sqrt[3]{-\sqrt{-1}}=\sqrt[3]{i}+ \sqrt[3]{-i}</math> (nakon što se za drugi korijen iz -1 izabere jedna vrijednost: [[imaginarna jedinica]] ''i''). Pribrojnik ''u'' sad ima vrijednosti redom <math>\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, -i</math> dok su pripadne vrijednosti od <math>v=1/u=\bar u</math> (kompleksno konjugiranje), jedanake redom <math>\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, i</math> , a vrijednolsti zbroja ''u+v'' redom <math>\sqrt{3},-\sqrt{3},0</math>, što i jesu rješenja zadane jednadžbe.