Kubna jednadžba: razlika između inačica

gdje je ''a'' različit od nule. U nastavi matematike u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti ''a,b,c,d'' realni brojevi<ref>Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 2006.</ref>. Općenito, to mogu biti elementi bilo kojeg [[polje|polja]] <ref name="Fon">B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 19912003.</ref>

jest svaki [[broj]] ''x''₀ za kojeg vrijedi <math> ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0 + d = 0. </math> Za jednažbu s koeficijentima u nekom polju ''k'' rješenja se razmatraju u fiksiranom [[algebarski zatvoreno polje|algebarski zatvorenom polju]] koje sadrži ''k'' (ona su uvijek u [[konačno proširenje|konačnom proširenju]] od ''k'' stupnja najviše 6 <ref name="Fon"/>). Kubna jednadžba općenito ima tri rješenja (brojeći [[kratnost]]i): dakle, mogu biti tri različita rješenja, dva rješenja od kojih je jedno dvostruko ili jedno trostruko rješenje. Ako su koeficijenti realni brojevi onda uvijek ima bar jedno realno rješenje, ali može se dogoditi da preostala dva budu kompleksna. Preciznije, mogu biti tri različita realna, dva različita realna od kojih je jedno dvostruko, jedno realno trostruko ili jedno realno i dva kompleksno-konjugirana rješenja, analogno nultočkama [[kubna funkcija|kubne funkcije]].

iz koje se razaznaje da se rješenja mogu predočiti u zavisnosti od koeficijenata koristeći se osnovnim računskim operacijama i drugim i trećim korijenima. Nazivnici zorno pokazuju da formula nema smisla ako je karakteristika polja 2 ili 3. Općenito, a napose unutar kompleksnih brojeva, drugi korijen ima dvije vrijednosti, a treći tri (samo za realne brojeve, prema dogovoru, korjenovanje je jednoznačna operacija). Zato svaki od pribrojnika u formuli ima općenito šest vrijednosti. Ako se za drugi korijen izabere jedna od dviju vrijednosti (što je dopustivo jer su u pribrojnicima pred njima različiti predznaci, a ispod drugih korijena nema razlike), onda svaki od pribrojnika općenito ima po tri vrijednosti, pa bi zbroj općenito imao devet vrijednosti. Zato ovu formulu treba protumačiti tako da ona daje tri vrijednosti (računajuići kratnosti u posebnim slučajevima) <ref name="Gus"/>Ivica Gusić, Zašto su uvedeni kompleksni brojevi, math.e, Broj 1, veljača 2004, http://e.math.hr/old/povmat/pov1.html</ref> To se postiže tako da se za svaku od triju vrijednosti za ''u'' za vrijednost od ''v'' uzme <math>-\frac{p}{3u}</math>. Na primjer, za jednadžbu <math>x^3-3x=0</math>, lako se vidi da su rješenja brojevi <math>0,-\sqrt{3}, \sqrt{3}</math>, dok Cardanova formula daje <math>x=u+v=\sqrt[3]{\sqrt{-1}}+ \sqrt[3]{-\sqrt{-1}}=\sqrt[3]{i}+ \sqrt[3]{-i}</math> (nakon što se za drugi korijen iz -1 izabere jedna vrijednost: [[imaginarna jedinica]] ''i''). Pribrojnik ''u'' sad ima vrijednosti redom <math>\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, -i</math> dok su pripadne vrijednosti od <math>v=1/u=\bar u</math> (kompleksno konjugiranje), jedanakejednake redom <math>\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i, i</math>, a vrijednosti zbroja ''u+v'' redom <math>\sqrt{3},-\sqrt{3},0</math>, što i jesu rješenja zadane jednadžbe.