Moment inercije: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja |
Nadopunio Moment inercije |
||
Redak 1:
{{Klasična mehanika}}
'''Moment inercije''' ili '''moment tromosti''' mjera je [[tromost]]i za [[rotacijsko gibanje]]. Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija [[masa|mase]]. Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotaciju.▼
[[datoteka:Cup of Russia 2010 - Yuko Kawaguti (2).jpg|mini|desno|300px|Klizačica kod okretanja smanjuje svoj moment tromosti ili moment inercije skupljajući ruke uz tijelo kako bi se brže okretala.]]
:<math>J_a=mr^2\,</math>▼
[[datoteka:Johndeered.jpg|mini|desno|300px|[[Traktor]] s vanjskim [[zamašnjak]]om (s velikim momentom tromosti) koji služi da ujednačuje okretanje motora (bez trzaja).]]
[[datoteka:Samuel Dixon Niagara.jpg|mini|desno|300px|Kod hodanja po užetu koristi se moment inercije dugog štapa kako bi se povećala [[Ravnoteža (mehanika)|ravnoteža]].]]
'''Moment inercije''' ili '''moment tromosti''' (znak ''I'' ili ''J'') je [[fizikalna veličina]] koja opisuje [[tromost]] ili inerciju čestice ili krutoga tijela pri promjeni [[brzina|brzine]] ili smjera [[rotacija|vrtnje]]; jednaka je [[zbroj]]u umnožaka [[masa|mase]] ''m'' i kvadrata udaljenosti ''r'' od osi [[rotacija|rotacije]] svake čestice koja čini tijelo:
:<math>I = \sum_{i=1}^{N} m_i{r_i}^2</math>
▲
gdje je ''r'' udaljenost te točke od osi rotacije. Mjerna jedinica za moment inercije je [[kg]][[m²]].
Za neko tijelo sastavljeno od ''N'' materijalnih čestica moment inercije za neku os je jednak zbroju momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu os:
:<math>
Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati točan broj i položaj svih čestica. Umjesto toga [[integral|integriraju]] se momenti inercije svih diferencijalnih masa ''dm'':
:<math>
Uz pretpostavku da je [[gustoća]] tijela ''ρ'' po cijelom volumenu jednaka, dobivamo:
:<math>
Momenti inercije za osi koje prolaze kroz [[težište]] tijela nazivaju se '''vlastitim momentima inercije'''. Iako gornja matematička formulacija vrijedi posve općenito, moment inercije za neku os koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću '''Steinerovog pravila''' koje možemo ovako sročiti:
Line 22 ⟶ 32:
Matematički izričaj Steinerovog pravila možemo zapisati na sljedeći način:
:<math>
Iz svega izloženoga treba uočiti nekoliko činjenica bitnih za razumijevanje materije:
* Što je neka masa udaljenija od
* Inertnost ili [[tromost]] mase pri rotaciji raste s kvadratom udaljenosti od osi rotacije.
* Materijalna točka nema vlastitih momenata inercije jer nema protežnost.
* Za dovoljno kompaktna tijela (
* Moment inercije nekog tijela ne ovisi samo o negovoj masi i udaljenosti njegovog težišta od osi rotacije, već i o obliku.
* Steinerovo pravilo se primjenjuje bez obzira na to da li os rotacije prolazi kroz tijelo ili se nalazi izvan njega, bitan je samo odnos osi prema težištu.
== Moment tromosti nekih tijela ==
Moment tromosti nekog tijela ovisi o obliku tijela, raspodjeli mase, položaju osi rotacije. Primjerice, ako je ''m'' masa tijela, ''r'' njegov polumjer, a os rotacije ujedno i os simetrije, moment inercije na primjer šupljega [[valjak|valjka]] ili prstena iznosi:
:<math> I = m r^2</math>
homogeno ispunjenoga valjka ili kružne ploče:
:<math>I = \frac{m r^2}{2}\,\!</math>
homogeno ispunjene [[kugla|kugle]]:
:<math>I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!</math>
Moment tromosti homogeno ispunjenoga štapa kojemu je os rotacije okomita na dužinu štapa nalazi se na polovici dužine štapa:
:<math>I = \frac{m r^2}{12}\,\!</math>
a na kraju je štapa:
:<math>I = \frac{m r^2}{12}\,\!</math>
gdje je: ''r'' - duljina štapa. Mjerna je jedinica momenta tromosti kilogram puta kvadratni metar (kg m<sup>2</sup>). <ref> '''moment inercije (moment tromosti)''', [http://www.enciklopedija.hr//natuknica.aspx?ID=69680] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2015.</ref>
=== Momenti tromosti nekih presjeka ===
{|class="wikitable"
|-
! Opis || Slika || [[Moment tromosti]] || Primijedba || Literatura
|-
| puni kružni presjek (šipka) s polumjerom ''r''||[[datoteka:Area moment of inertia of a circle.svg]]||<math>I_x = \frac{\pi}{4} r^4</math><br><br><math>I_y = \frac{\pi}{4} r^4</math><br><br><math>I_z = \frac{\pi}{2} r^4</math>|| ||<ref>{{cite web|url=http://www.efunda.com/math/areas/Circle.cfm|title=Circle|accessdate=2006-12-30|publisher=eFunda}}</ref>
|-
| prsten ([[cijev]]) s unutarnjim [[polumjer]]om ''r''<sub>1</sub> i vanjskim polumjerom ''r''<sub>2</sub>||[[datoteka:Area moment of inertia of a circular area.svg]]||<math>I_x = \frac{\pi}{4} \left({r_2}^4-{r_1}^4\right)</math><br><br><math>I_y = \frac{\pi}{4} \left({r_2}^4-{r_1}^4\right)</math><br><br><math>I_z = \frac{\pi}{2} \left({r_2}^4-{r_1}^4\right)</math>|| Za tanke cijevi, <math> r \equiv r_1 \approx r_2</math> i <math>r_2 \equiv r_1+t</math>.
Možemo reći da <math>\left(r_2^4-r_1^4\right) = \left(\left(r_1+t\right)^4-r_1^4\right) = \left(4r_1^3t+6r_1^2t^2+4r_1t^3+t^4\right)</math>, i zbog <math>r_1>>t</math> ta zagrada se može pojednostaviti u <math> \left(4r_1^3t+6r_1^2t^2+4r_1t^3+t^4\right) \approx 4r_1^3t</math>. Konačno, za tankostijenu cijev proizlazi, <math>I_x = I_y = \pi {r}^3{t}</math>.
||
|-
| puni kružni isječak s kutom ''θ'' u [[radijan]]ima i polumjerom ''r'', s obzirom na os kola prolazi kroz [[težište]] i središte kružnice ||[[datoteka:Area moment of inertia of a circular sector.svg]]||<math>I_0 = \left( \theta -\sin \theta \right) \frac{r^{4}}{8}</math>|| Jednakost vrijedi samo za 0 ≤ <math>\theta</math> ≤ <math>\pi</math> ||
|-
| puni polukrug s polumjerom ''r'' u odnosu na vodoravni pravac koji prolazi kroz težište ||[[datoteka:Area moment of inertia of a semicircle 2.svg]]||<math>I_0 = \left(\frac{\pi}{8} - \frac{8}{9\pi}\right)r^4 \approx 0,1098r^4 </math>|| ||<ref name=semicircle>{{cite web|url=http://www.efunda.com/math/areas/CircleHalf.cfm|title=Circular Half|accessdate=2006-12-30|publisher=eFunda}}</ref>
|-
| puni polukrug s polumjerom ''r'' u odnosu na vodoravni pravac koji prolazi kroz osnovu ||[[datoteka:Area moment of inertia of a semicircle.svg]]||<math>I = \frac{\pi r^4}{8}</math>|| Udaljenost između težišta i osnove je <math>\frac{4r}{3\pi}</math>||<ref name=semicircle />
|-
| puni polukrug s polumjerom ''r'' u odnosu na okomiti pravac koji prolazi kroz težište ||<center>[[datoteka:Area moment of inertia of a semicircle 3.svg]]</center>||<math>I_0 = \frac{\pi r^4}{8}</math>|| ||<ref name=semicircle />
|-
| puna četvrtina kruga s polumjerom ''r'' s obzirom na središte kruga. ||[[datoteka:Area moment of inertia of a quartercircle.svg]]||<math>I = \frac{\pi r^4}{16}</math>|| ||<ref name=quartercircle>{{cite web|url=http://www.efunda.com/math/areas/CircleQuarter.cfm|title=Quarter Circle|accessdate=2006-12-30|publisher=eFunda}}</ref>
|-
| puna četvrtina kruga s polumjerom r s obzirom na pravac prolazi kroz težište ||[[datoteka:Area moment of inertia of a quartercircle 2.svg]]||<math>I_0 = \left(\frac{\pi}{16}-\frac{4}{9\pi}\right)r^4 \approx 0.0549r^4</math>|| Udaljenost između težišta i baze je <math>\frac{4r}{3\pi}</math> ||<ref name=quartercircle />
|-
| puna [[elipsa]] s poluosima ''a'' (uzduž osi ''x'') i ''b'' ||[[datoteka:Area moment of inertia of an ellipsis.svg]]</td><td><math>I_x = \frac{\pi}{4} ab^3</math><br><br><math>I_y = \frac{\pi}{4} a^3b</math>|| ||
|-
| puni [[pravokutnik]] s osnovicom ''a'' i visinom ''h'' u odnosu na pravac koji prolazi kroz težište ||[[datoteka:Area moment of inertia of a rectangle.svg]]||<math>I_x = \frac{bh^3}{12}</math><br><br><math>I_y = \frac{b^3h}{12}</math>|| ||<ref name=rect>{{cite web|url=http://www.efunda.com/math/areas/rectangle.cfm|title=Rectangular area|accessdate=2006-12-30|publisher=eFunda}}</ref>
|-
| puni pravokutnik s osnovicom ''a'' i visinom ''h'' u odnosu na pravac koji prolazi kroz osnovicu ||[[datoteka:Area moment of inertia of a rectangle 2.svg]]||<math>I = \frac{bh^3}{3}</math>||||<ref name=rect />
|-
| puni [[trokut]] s osnovicom ''b'' i visinom ''h'' u odnosu na [[pravac]] koji prolazi kroz težište ||[[datoteka:Area moment of inertia of a triangle.svg]]||<math>I_0 = \frac{bh^3}{36}</math>|| ||<ref name=tri>{{cite web|url=http://www.efunda.com/math/areas/triangle.cfm|title=Triangular area|accessdate=2006-12-30|publisher=eFunda}}</ref>
|-
| puni trokut s osnovicom ''b'' i visinom ''h'' u odnosu na pravac koji prolazi kroz osnovicu ||[[datoteka:Area moment of inertia of a triangle 2.svg]]||<math>I = \frac{bh^3}{12}</math>|| ||<ref name=tri />
|-
| puni šesterokut sa stranicom ''a'', pravac prolazi kroz težište ili središte ||[[datoteka:Area moment of inertia of a regular hexagon.svg]]||<math>I_0 = \frac{5\sqrt{3}}{16}a^4</math>|| Isto vrijedi i za okomiti pravac.||
|-
|}
== Izvori ==
{{izvori}}
[[Kategorija:Klasična mehanika]]
| |||